Методические указания к решению за­дач К 2.5, К 2.6

В задачах К 2.5 и К 2.6 требуется для сложных сечений вычис­лить значения главных центральных и моментов инерции и определить по­ложение главных цен­тральных осей.

Алгоритм решения этих задач.

1. Вычерчивают сложное сечение.

2. Сложное сечение разделяют на простые составляющие части.

3. Выбирают начальные оси Х₀У₀.

4. Определяют координаты центров тяжести составляющих частей в системе координат Х₀У₀. Через их центры тяжести проводят цен­т­ральные оси составляющих частей, параллель­ные осям Х₀У₀. Вычис­ляют площади простых час­тей и их моменты инерции отно­сительно проведенных центральных осей.

5. Определяют площадь и координаты центра тяжести всего сечения в системе координат Х₀У₀. Через центр тяжести сечения проводят цен­тральные оси Х_сУ_с параллельные осям Х₀У₀. Определяют моменты инерции сечения относительно этих осей.

6. Определяют главные центральные моменты инерции и положение глав­ных центральных осей сечения.

Рассмотрим эти шаги более подробно.*⁾

Вычерчивание сечения

Сечение вычерчивается в произвольном масштабе на бумаге в кле­точку или миллиметровке. Чертеж должен занимать не менее поло­вины листа ученической тетради. На чертеже проставляют все харак­терные размеры сечения.

Деление сечения на простые части

Простой будет называть часть сечения, для которой известны по­ло­жение центра тяжести, а также формулы для определения пло­щади и центральных мо­ментов инерции или их числовые значения. Для уменьшения числа составляющих частей, особенно для сечений с вы­резами и отверстиями, допускается добавлять к сечению мнимые (от­сутствующие) части. В расчетах площади и моменты инер­ции "мни­мых" частей берутся с противоположным знаком по сравнению со зна­ком аналогичных дейст­вительных частей. Простые части ну­ме­руют.

Выбор начальных осей

Решение можно выполнить с любыми, произвольно взятыми осями Х₀У₀, Однако затрат труда будет меньше, если начальные оси естест­венным образом связать с сечением. Для сечений несиммет­ричных жела­тельно начальные оси на­правлять по границам сечения или простых частей. Желательно, чтобы все сече­ние находилось в первой четверти. С целью устранения возможных ошибок сле­дует выбирать только правую систему координат (ось У₀ направлена вверх, ось Х₀ – вправо). Для сечений симметричных желательно, чтобы начальные оси сов­падали с осями симметрии.

__________________________________________________________

*⁾Примеры практического использования алгоритма даны в разд. 4.4

4-й шаг алгоритма

При выполнении этого и пятого шага алгоритма, для снижения веро­ятности появления ошибок, повышения удобства проведения расче­тов, контроля и про­верки их правильности, результаты расчетов за­носят в единую таблицу (табл. 20). Порядок заполнения таблицы по­казан в разд. 4.3.

Таблица 20

Координаты центров тяжести определяют в системе координат Х₀У₀ с уче­том знаков. Для этого используют размеры на чертеже и зависи­мости, определяющие координаты центров тяжести простых частей. Через центры тяжести простых частей проводят их централь­ные оси, параллель­ные осям Х₀У₀. По известным формулам опреде­ляют пло­щади и моменты инерции простых частей относительно проведенных центральных осей. Если формулы для определения мо­ментов инер­ции даны для центральных осей не параллельных осям Х₀У₀, то по­сле определения моментов инерции относительно этих осей, опреде­ляют мо­менты инерции относительно центральных осей параллель­ных осям Х₀У₀, исполь­зуя формулы для определения моментов инерции при повороте осей.

5-й шаг алгоритма

Определяют пло­щадь сечения F

,

где n – число простых частей; F_i – площадь i-ой части.

Координаты центра тяжести сечения опреде­ляют по формулам

; .

Здесь x_ci , у_ci – координаты цен­тра тяжести i-ой части в системе коор­динат Х₀У₀.

В сечениях, имеющих ось симметрии, центр тяжести находится на этой оси, в сечениях, имеющих две и более осей симметрии, - на пе­ресечении осей симмет­рии.

Отмечают на чертеже центр тяжести и проводят через него цен­т­ральные оси (Х_с , У_с) сечения, параллельные осям Х₀ , У₀ . Вычис­ляют моменты инер­ции сечения относительно проведенных цен­тральных осей по формулам

;

; (*)

.

Здесь: а_i= у_сi – у_с – расстояние между центральной осью х_i i-ой части и центральной осью Х_c сечения; а_i= у_сi – у_с – рас­стояние между центральной осью у_i i-ой части и цен­тральной осью У_c сечения.

Рас­стояния а_i , b_i определяются с учетом знака.

Вычисляются , , для каждой части и заносятся в табл. 15. Затем находят , , , , , путем суммирова­ния данных, записанных в соответст­вующих столбцах табл. 15. Далее находят I_x(c), I_у(c), I_xу(c), по формулам (*).

6-й шаг алгоритма

Определяют главные центральные моменты инерции сечения по фор­мулам

.

При определении I_u перед корнем берут знак плюс, при определении I_v - знак минус.

Определяют угол a между осью Х_с и главной центральной осью u (осью, отно­сительно которой осевой момент инерции максималь­ный)

.

На чертеже сечения проводят главные центральные оси. Под углом a к оси Х_с через центр тяжести сечения проводят ось u . Ось v проводят через центр тяжести перпендикулярно оси u.