Плотность распределения вероятностей

Теперь уменьшим ширину интервала в 2 раза и увеличим в 2 раза , так чтобы произведение осталось постоянным. Фактически каждый исходный интервал мы разбили на 2 равных подынтервала (рисунок слева). Через и обозначим количества резисторов в первом и втором подынтервалах.

Поскольку общее количество резисторов удвоилось, в интервал (то есть в два новых подынтервала) попало примерно в 2 раза больше резисторов, то есть, . Поэтому высота обоих столбиков будет (скорее всего) близка к тому, что было раньше. Мы только уточнили распределение резисторов внутри исходного интервала .

Такое деление можно выполнять и для нормированной гистограммы (с единичной площадью). В пределе при (и ) мы получаем прямоугольники бесконечно малой ширины. Через их «вершины» можно провести некоторую линию. Она представляет собой график функции, которую называют плотностью распределения вероятностей (или просто плотностью распределения) случайной величины и обозначают (здесь – одно из допустимых значений случайной величины ).

Так как выполняется условие нормировки, площадь под этой линией равна 1, она может быть вычислена как интеграл от функции на всем множестве ее допустимых значений. Если заранее известно, что величина находится в некотором интервале , получаем . В общем случае (если случайная величина может принимать любые вещественные значения), справедлива формула

.

Интеграл от на некотором интервале определяет вероятность того, что случайная величина при очередном испытании окажется в этом интервале, то есть выполнится неравенство .

Чему же равна вероятность точного равенства для некоторого заданного ? Чтобы ее найти, нужно взять интеграл . Поскольку верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, для «обычных» функций такой интеграл равен нулю, то есть, в рассмотренном выше примере вероятность выбрать наугад резистор с сопротивлением 100 Ом равна нулю.

Может ли интеграл быть ненулевым? Оказывается да, но для этого функция в точке должна быть бесконечной. Этим свойством обладает, например, так называемая дельта-функция (или функция Дирака) , которая определяется так:

.

Дельта-функция равна нулю во всех точках, кроме , где она обращается в бесконечность, причем интеграл от нее по всей оси равен 1.

Когда плотность вероятности может содержать дельта-функции? Предположим, что мы измеряем сигнал на выходе цифрового устройства, который может принимать только два значения, например, 0 или 1. Такой сигнал, принимающий значения только из заранее заданного множества, называется дискретным.

Пусть вероятность появления нуля равна 0,4, а вероятность появления единицы – 0,6. Попытаемся построить плотность распределения этого сигнала, используя интуитивные соображения («здравый смысл»).

Во-первых, сигнал не может принимать другие значения, кроме 0 и 1, поэтому плотность вероятности равна нулю везде, за исключением этих двух точек. Во-вторых, вероятность того, что ненулевая (равна 0,4), и вероятность того, что равна 0,6. Таким образом, имеем (при любом малом )

и .

Отсюда следует, что плотность распределения содержит дельта-функции в точках и (интегралы от которых равны соответственно 0,4 и 0,6) и равна нулю в остальных точках[2]. Иначе говоря,

.

Дельта-функцию, имеющую бесконечное значение, на графике обозначают стрелкой, высота которой равна ее площади (см. рисунок справа).