К выполнению работы

5.2.1. Планирование полного факторного эксперимента ПФЭ 2^К

Для иллюстрации порядка выполнения раздела и лабораторной работы в целом используем пример задания, приведенного в лабораторной работе № 2 (п. 2.1).

Словесная формулировка задачи. Исследуется зависимость удельной работы резания К, Дж/см³ от толщины стружки а, мм, и угла встречи j_в, град., при продольно-торцевом фрезеровании.

Математическая формулировка задачи. Исходные зависимости представлены на рис. 5.1.

Уровни и интервалы варьирования переменных факторов приведены в табл. 5.1

Таблица 5.1

Уровни факторов	Натуральные значения факторов	Кодированные значения факторов
	град	x1	x2
Нижний уровень, xi min	0,2		-1	-1
Верхний уровень, xi max	0,6		+1	+1
Основной уровень, xi 0	0,4
Интервал варьирования, Dxi	0,2		-	-

Постоянные факторы и их уровни: порода – сосна, влажность W=12%, толщина срезаемого слоя h=3 мм, угол резания d=60°, радиус закругления лезвия r=5 мкм и скорость резания V=40 м/с.

Оценочный показатель (выходная величина y) – удельная работа резания К, Дж/см³ (Кºy), диапазон ее изменения К=18.....44 Дж/см³.

В заключение составляют рабочую матрицу планирования ПФЭ 2^К, в которую дополнительно включают вектор-столбец со значениями выходной величины у по графикам на рис. 5.1.

Рабочая матрица планирования ПФЭ 2^К с дублированными опытами представлена в табл. 5.2

Таблица 5.2

Рабочая матрица ПФЭ 2^К с дублированными опытами

Номер опыта (серии), J	, мм	, град			y=K, Дж/см3	Значения yJℓ в дублированных опытах	yJ	SJ2	ŷJ
		.....	n-1	n
	0,2		-1	-1	32,0
	0,6		+1	-1	19,0
	0,2		-1	+1	38,0
	0,6		+1	+1	29,0

Значения выходной величины y_Jℓ в дублированных опытах в табл. 5.2 заполняют по результатам имитационного эксперимента с действительными значениями К=у из графиков на рис. 5.1. Рекомендуется в учебном эксперименте относительную погрешность принимать ε£0,01. Это связано с тем, что совместное влияние ε и случайных чисел на значение y_Jℓ может значительно превышать принятую в деревообработке погрешность – 0,05. Это может привести к затруднениям при обработке результатов эксперимента. Величина ŷ_J определится по результатам ее расчета по уравнению регрессии (математической модели), получение которой является целью эксперимента.

5.2.2. Построение математической модели

Матрица планирования ПФЭ 2^К позволяет представить зависимость между выходной величиной и переменными факторами в виде математической зависимости, которая называется уравнением регрессии (выражения (1.5) и (1.6)). Уравнение

, (5.1)

являющееся частным случаем уравнения (1.5), называется линейной математической моделью объекта.

Для составления уравнения регрессии (1.6) помимо выбора его вида необходимо определить коэффициенты b_i, i=1, K, которые называются коэффициентами регрессии и определяются по формуле

. (5.2)

Для вычисления коэффициента регрессии b_i уравнения (5.1) необходимо вектор-столбец кодированных значений соответствующего фактора умножить на соответствующие значения выходной величины и их алгебраическую сумму разделить на количество серий опытов. Значение b₀ определяют по формуле

(5.3)

Для облегчения унификации расчетов коэффициентов регрессии с учетом эффектов взаимодействия строят расширенную расчетную матрицу планирования, представленную в табл. 5.3

Таблица 5.3

Расширенная расчетная матрица планирования ПФЭ 2^К

Распишем формулы (5.2) и (5.3) для плана ПФЭ 2² с двумя факторами

После выбора вида математической модели объекта и построения матрицы планирования переходим к ее реализации.

5.2.3. Проведение эксперимента с равномерным

дублированием опытов

Эксперимент с дублированными опытами – такой эксперимент, когда каждый опыт ПФЭ повторяется (дублируется) некоторое число раз. Например, n. Эксперимент содержит N серий опытов (N=2^К), где каждая серия состоит из n опытов, проводимых в одинаковых условиях. Тогда общее количество опытов с учетом дублирования равно Nn.

Среднее арифметическое дублированных опытов J-ой серии y_J будет равно

(5.5)

где n – количество дублированных опытов J-й серии;

ℓ=1,2,...,n.

Дублирование опытов позволяет повысить точность определения выходной величины, снизить влияние на точность систематических и случайных ошибок.

Для исключения систематических ошибок, вызванных воздействием неконтролируемых факторов при постановке опытов, запланированных матрицей, их необходимо рандомизировать во времени. Для рандомизации используют таблицы случайных чисел. В случайном месте таблицы выписывают числа с 1 до N, в общем столько, сколько опытов в матрице планирования с отбрасыванием чисел больших N и уже выписанных. Например, для реализации матрицы планирования ПФЭ 2^К (табл. 5.3) получилась следующая последовательность: 2, 1, 3, 4. Следовательно, первым реализуется опыт № 2. Затем опыт № 1 и т.д. Выбранную случайным образом последовательность опытов не рекомендуется нарушать.

При имитационном планировании рандомизация достигается выбором относительной погрешности и значением случайного числа. Методика построения имитационного эксперимента изложена в разделе 2.1 лабораторной работы № 2.

5.2.4. Обработка результатов эксперимента

Уравнения регрессии подвергают тщательному статистическому анализу. Цели анализа: извлечение из результатов эксперимента максимума информации; оценка точности и достоверности полученных зависимостей. Обработку результатов эксперимента при равномерном дублировании опытов рекомендуют проводить в следующем порядке:

а) вычисляют среднее значение y_J для J–го опыта по формуле (2.8);

б) вычисляют коэффициенты регрессии по формулам (5.2),(5.3) и (5.4),причем вместо y_J следует взять среднеее значение (п.а). Записывают полученную математическую модель (5.1), поставив вместо коэффициентов, записанных в общем виде, их значения;

в) вычисляют оценки дисперсии S²_J для каждой серии опытов по формуле

(5.6)

где n – число дублированных опытов в серии,

y_Jℓ - значение выходной величины в ℓ-м дублированном опыте (J=1, 2, ...., N, ℓ= 1, 2, ...., n):

Полученные значения S²_J записывают в табл. 5.2.

г) проверить однородность дисперсии опытов S²_J по формуле (3.1) по G-критерию Кохрана;

д) вычисляют оценки дисперсий, характеризующих ошибку эксперимента S²_íyý по формуле

(5.7)

Число в знаменателе формулы (5.7) N(n-1)=f_y и представляет собой число степеней свободы, связанных с дисперсией S²_íyý;

е) вычисляют дисперсии коэффициентов регрессии по формуле

(5.8)

Дисперсии коэффициентов равны друг другу для планов ПФЭ и характеризуют точность, с которой они найдены;

ж) оценивают значимость коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, для чего:

- для каждого коэффициента регрессии b_i вычисляется расчетное значение критерия Стьюдента t_расч по формуле

(5.9)

где S_íbiý - среднее квадратическое отклонение коэффициента

(5.10)

- определяют табличное значение критерия Стьюдента t_табл для уровня значимости q и числа степеней свободы f_y по табл. П.3 Приложения

; (5.11)

- проверяют условие t_расч£t_табл ; коэффициенты регрессии для которых это условие выполняется являются незначимыми, их можно исключить из математической модели.

и) при отсутствии дублированных опытов ошибку эксперимента оценивают с помощью отдельно проведенной серии дублированных опытов с числом m³120.

Оценка дисперсии, характеризующая ошибку эксперимента в этом случае определяется по формуле

, (5.12)

к) определяют значения выходной величины ŷ₁,...., ŷ_N, предсказанные уравнением регрессии (5.1). Для этого в уравнение подставляют кодированные значения факторов x₁, x₂,... x_K последовательно для каждой серии опытов и вычисляют значения выходной величины, например, по результатам матрицы плана ПФЭ 2² имеем

ŷ₁=b₀+(-1)b₁+(-1)b₂,

ŷ₂=b₀+(+1)b₁+(-1)b₂,

ŷ₃=b₀+(-1)b₁+(+1)b₂,

ŷ₄=b₀+(+1)b₁+(+1)b₂,

а полученные значения записывают в табл. 5.2.

5.2.5. Проверка адекватности математической модели

Проверка достоверности и точности полученной модели называется проверкой ее адекватности результатам эксперимента. Ее выполняют после вычисления и проверки значимости коэффициентов регрессии. Чтобы проверить гипотезу об адекватности результатов эксперимента, найденным из уравнения связи, достаточно оценить отклонения, предсказанные уравнением регрессии выходной величины ŷ от результатов эксперимента у в различных точках факторного пространства.

Такую проверку выполняют в следующем порядке:

а) вычислют сумму квадратов разности средних значений выходной величины, полученных экспериментально и значений, вычисленных по уравнению регрессии (5.1), характеризующую адекватность модели

, (5.13)

где n – число дублированных опытов.

б) вычисляют число степеней свободы f_ад, связанных с дисперсией адекватности; при равномерном дублировании и при отсутствии дублирования f_ад определяют по формуле

, (5.14)

где Р – число оцениваемых коэффициентов регрессии (при N=P адекватность модели проверить невозможно).

в) вычисляют дисперсию адекватности S²_ад по формуле

, (5.15)

г) вычисляют расчетное значение критерия Фишера F_расч по формуле

, (5.16)

д) определяют табличное значение критерия Фишера F_табл по табл. П.6 Приложения для q=5% уровня значимости и расчетных значений f_ад из выражения (5.14) и f_y из выражения (5.11).

е) проверяют условие F_расч£F_табл , если оно выполняется, то уравнение регрессии соответствует результатам опыта или оно адекватно.

В случае невыполнения условия – уравнение регрессии не адекватно и результаты опытов нельзя описать уравнением данного вида. В этом случае нужно в уравнение ввести взаимодействия или перейти к полному уравнению регрессии второго порядка;

ж) перевод регрессионного уравнения (5.1) из кодированного вида в натуральный осуществляют путем подстановки в него выражений (1.3).

5.2.6. Анализ результатов эксперимента

Анализ результатов эксперимента предусматривает интерпретацию модели. Устанавливается, в какой мере каждый из факторов влияет на выходную величину на основании величины и знака коэффициента регрессии. Рассматривается расположение совокупности факторов в ряд по силе их влияния на выходную величину, выясняются факторы не оказывающие существенного влияния на нее. Оцениваются возможности уравнения регрессии для натуральных значений факторов предсказывать: значения выходной величины для любой точки внутри области варьирования факторов; служить основой для оптимизации исследуемого процесса или управления им.