Теорема умножения вероятностей независимых событий
При совместном рассмотрении двух случайных событий А и В возникает вопрос:
Как связаны события А и В друг с другом, как наступление одного из них влияет на возможность наступления другого? Простейшим примером связи между двумя событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого. Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.
Определение. Пусть А и В - два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется число 
. Обозначив условную вероятность 
, получим формулу 
, 
.
Задача 1.Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.
Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка. Тогда 
, 
и по формуле находим 
.
Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: 
. Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле 
.
Задача 1.В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение. Пусть 
- из первой урны извлечен белый шар; 
- из второй урны извлечен белый шар. Очевидно, что события и 
независимы. Так как
, 
,то по формуле 
находим. 
.
Задача 2.Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.
Решение. Пусть событие А- выход из строя первого элемента, событие В- выход их строя второго элемента. Эти события независимы (по условию).
а) Одновременное появление А и В есть событие АВ. Следовательно, 
.
б) Если работает первый элемент, то имеет место событие 
(противоположное событию А- выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий 
и 
:
; 
.
Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть 
и, значит,
.
Дата добавления: 2014-12-05; просмотров: 1334;