Алгебра событий
Определение.Суммой событий A и B (A + B) называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A или B.
Разъяснить смысл операции суммы событий можно с помощью таблицы 3.1, в которой знак «+» обозначает наступление события, а «−» соответствует ситуации, когда событие не наступило.
Таблица 3.1
Сумма событий A и B
A | B | A+B |
+ | + | + |
+ | − | + |
− | + | + |
− | − | − |
Операция суммы событий аналогична операциям объединения множеств и дизъюнкции.
Замечание. Операции суммы событий, как и операции объединения множеств, соответствует союз русского языка «или».
С помощью метода математической индукции операция суммы распространяется на любое число событий.
Определение.Суммой событий A1, A2, A3,… , An называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A1, или, A2,или, A3,или, …, или An.
Пример 3.12.Пусть событие A – попадание в цель первым стрелком, событие B – попадание в цель вторым стрелком. Что представляет собой событие, являющееся суммой этих событий? Что представляет собой событие, противоположное сумме событий A и B?
Суммой событий A и B является событие C, состоящее в попадании в цель хотя бы одним стрелком, т. е. событие C произойдет, если первый стрелок попадет в цель, а второй – не попадет в цель или второй стрелок попадет в цель, а первый – не попадет в цель или оба стрелка попадут в цель.
Событие, противоположное сумме событий A и B, произойдет тогда и только тогда, когда оба стрелка не попадут в цель, т. е. и первый стрелок не попадет в цель и второй стрелок не попадет в цель.
Пример 3.13.Пусть событие A – выпадение двойки на верхней грани игральной кости, событие B – выпадение четверки, C – выпадение шестерки. Что представляет собой событие, являющееся суммой этих событий? Что представляет собой событие, противоположное сумме событий A, B и C?
Суммой событий A, B и C является событие, состоящее в выпадении четного числа на верхней грани игральной кости.
Событие, противоположное сумме событий A, B и C, состоит в выпадении нечетного числа (единицы, или тройки, или пятерки) на верхней грани игральной кости.
Пример 3.14.Рассмотрим опыт с бросанием двух монет. Пусть событие A – выпадение орла и на первой монете и на второй монетах, событие B – выпадение решки на первой монете и орла на второй монете, C – выпадение орла на первой монете и решки на второй монете, D – выпадение решки и на первой и на второй монетах. Что представляет собой событие, состоящее в выпадении хотя бы одного орла?
Событие, состоящее в выпадении хотя бы одного орла, представляет собой сумму событий A, B и C, т. е. A + B + C.
Определение. Произведением событий A и B (A × B) называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события A и B.
Разъяснить смысл операции произведения событий можно с помощью таблицы 3.2, в которой знак «+» обозначает наступление события, а «−» соответствует ситуации, когда событие не наступило.
Таблица 3.2
Произведение событий A и B
A | B | A× B |
+ | + | + |
+ | − | − |
− | + | − |
− | − | − |
Операция произведения событий аналогична операциям пересечения множеств и конъюнкции.
Замечание. Операции произведения событий, как и операции пересечения множеств, соответствует союз русского языка «и».
С помощью метода математической индукции операция произведения распространяется на любое число событий.
Определение.Произведением событий A1, A2, A3,… , An называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят все события A1, и A2, и A3, и …, и An.
Пример 3.15. Пусть событие A – попадание в цель первым стрелком, событие B – попадание в цель вторым стрелком. Что представляет собой событие, являющееся произведением событий A и B? Что представляет собой событие, противоположное произведению событий A и B?
Произведением событий A и B является событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда оба стрелка попадают в цель, т. е. и первый стрелок и второй стрелок попадут в цель.
Событие, противоположное произведению событий A и B, произойдет тогда и только тогда, когда хотя бы один стрелок не попадет в цель, т. е. событие произойдет, если первый стрелок попадет в цель, а второй – не попадет в цель или второй стрелок попадет в цель, а первый – не попадет в цель или оба стрелка не попадут в цель.
Дата добавления: 2014-12-14; просмотров: 1325;