Теорема 2. Нескінченно малі величини, які входять до добутку та відношення, можна замінювати їм еквівалентними.

Означення. Нехай і — нескінченно малі величини. У разі, коли

говорять, що нескінченно мала величина b має порядок k відносно нескінченно малої величини a або скорочено: b — величина порядку k. Тоді

Величина — називається головною частиною нескінченно малої величини b.

Теорема 1. (Больцано-Коші). Нехай функція неперервна на відрізку [а; b] і на кінцях його набуває значень різних знаків. Тоді на інтервалі (а; b) знайдеться точка с, в якій функція перетворюється на нуль.

Теорема 2 (Коші). Нехай функція у = f(x) неперервна на відрізку [а; b] і на його кінцях набуває різних значень. Позначимо і . Тоді при будь-якому С: А < C < B знайдеться точка с із [a, b], така що f(с) = С.

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Функція у = f(x), неперервна на відрізку [а, b], досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значення.

7. Рівномірна неперервність

Означення. Функція у = f(x) називається рівномірно неперервною на деякому проміжку І, якщо для довільного знайдеться , таке що для будь-яких х₁, х₂ Î І, які задовольняють умову , виконується нерівність

Розглянемо неперервну функцію на проміжку (0; 1). Візьмемо довільне і спробуємо знайти , таке щоб за умови виконувалась нерівність . Дістанемо:

або

Вираз за умови може бути як завгодно великим. Якщо значення достатньо малі, то нерівність не може виконуватися при всіх із (0, 1). Отже, ця функція не є рівномірно неперервною.

Зауваження. Поняття рівномірної неперервності пов’яза­не з проміжком, на якому розглядається функція («рівномірно» — це приблизно однаково).

Теорема 5 (Кантора). Якщо функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], то вона рівномірно неперервна на ньому.