Решение задач ЛП не обладающих очевидным начальным базисом двухэтапным симплекс-методом

Задача 4. Предприятие может производить 3 вида продукции . Для их производства используются 2 вида ресурсов А и В, запасы которых . Прибыль от реализации единицы продукции .

Технологическая матрица имеет вид:

.

Рынок показывает, что продукт должен производиться в объеме не менее 5 единиц.

Требуется найти оптимальный план производства , при котором выполняются все ограничения и прибыль максимальна.

Получаем задачу ЛП:

(1)

Приведем (1) к каноническому виду, вводя остаточные переменные:

(2)

Выписывает расширенную матрицу ограничений для (2):

Т.к. в матрице нет столбца вида матрице нет, поэтому в 3-ем ограничении отсутствует очевидная базисная переменная и данная задача не имеет очевидного базиса.

Первый этап. На первом этапе решается вспомогательная - задача, целью решения которой является нахождение начального базиса основной - задачи.

Вводим ряд искусственных переменных , количество которых равно количеству недостающих базисных переменных и рассматриваем новую целевую функцию:

Математическая модель задачи:

(3),

где – вектор искусственных переменных.

Вводим в 3-е ограничение вводим искусственную переменную и решаем задачу вида:

при ограничениях:

(4)

Выписываем расширенную матрицу ограничений для (4):

Так как в матрице есть единичная подматрица, образованная столбцами при переменных , следовательно - очевидный начальный базис для - задачи.

Выражаем базисную переменную из ограничения и исключаем из целевой функции:

Переносим неизвестные влево:

- w - строка начальной симплекс-таблицы.

Строим начальную симплекс-таблицу (таблица 5) w - задачи и доводим ее до оптимальной.

Таблица 5

Т.к. , значит, I этап завершен успешно, и искусственная переменная выведена из базиса.

Второй этап .На II этапе в качестве начального базиса основной задачи принимаем оптимальный базис вспомогательной задачи, т.е. .Возвращаемся к целевой функции исходной задачи, и столбцы искусственных переменных удаляем из симплекс-таблицы.

Выражаем базисную переменную из оптимальной симплекс- таблицы и исключаем из целевой функции :

Переносим неизвестные влево: – - строка начальной симплекс-таблицы основной задачи.

Строим начальную симплекс-таблицу основной задачи и доводим ее до оптимальной (таблица 6).

Таблица 6

Имеем:

– объем производства I – го продукта.

– II продукт не производится.

– III продукт не производится.

S₁ = 0 – ресурс А используется полностью.

S₂ = 10 – остаток ресурса В.

S₃ = 0 – превышение производства продукта 1 над плановым заданием.

Замечание 4. Если , тогда исходная задача несовместима; переход ко 2-му этапу не осуществляется;

Экономическая интерпретация алгоритма симплекс-метода и оптимальной симплекс-таблицы

Задача 5. Предприятие может выпускать 3 различных вида продукции, цены реализации которых равны соответственно При производстве используются два вида ресурсов запасы, которых , а цены закупки единицы ресурса .

Технологическая матрица имеет вид:

.

Определить оптимальный план работы предприятия, дать экономический анализ для каждой итераций поиска решения с помощью симплекс-метода.

Решение.

Пусть искомые объемы производства продуктов 1,2,3.

Найдем по формуле (1) ценовые коэффициенты переменных в функции прибыли.

Имеем:

таким образом, производство продуктов 1,2 рентабельно, производство продукта 3 нерентабельно.

Задача ЛП о нахождении оптимального плана имеет вид:

Приведем задачу (10) к каноническому виду:

Начальный базис задачи: .

Z – строка начальной симплекс-таблицы 7:

.

Таблица 7

Экономический анализ:

Производства нет: .

Прибыль равна 0: .

Остатки ресурсов их запасам: .

=> план не оптимален, целесообразно включить в производство продукт 2, при этом прибыль составит 3руб. на 1 ед. дополнительного производства продукта 2 т.е. .

При увеличении остатки ресурсов уменьшаются:

Максимально возможный объём производства продукта. 2:

→ → → .

Следовательно, производство продукта 2 можно увеличить до 5 ед. При этом ресурс 2 расходуется полностью: , а остаток ресурса составит: ед. Новый план производства представлен в таблице 8.

Таблица 8

Экономический анализ:

- продукты 1 и 3 не производятся,

- объём производства продукта 2;

- размер получаемой прибыли.

=> план не оптимален; целесообразно увеличивать производство продукта 1, при этом прибыль увеличивается на 0.5 руб. на 1 ед. увеличения производства продукта 1, т.е. .

, остаток ресурса 1 идет на производство продукта 1.

- производство продукта 2 уменьшается, т.к. необходимо освободить часть ресурса 2 для производства продукта 1.

Максимально возможный объём производства продукта. 2:

→ → → .

Следовательно, производство продукта 1 можно увеличить до ед. При этом ресурс 1 расходуется полностью: , а объём производства товара 2 уменьшится до: ед.

Оптимальный план производства представлен в таблице 9.

Таблица 9

Экономический анализ:

- производство продукта 1;

- производство продукта 2;

- продукт 3 не производится.

- максимальная прибыль.

- ресурсы используются полностью.

Экономический анализ ресурсов:

Таблица 10

Ресурс	Отаток	Статус	Ценность	Комментарий
		дефицит		Цена на ресурс может возрасти не более чем на руб., но его выгодно будет использовать Закупка 1 ед. ресурса по текущей цене и включение в производство дает дополнительную прибыль руб.
		дефицит		Цена на ресурс может возрасти не, более чем на руб., но его выгодно будет использовать. Закупки 1 ед. ресурса по текущей цене и включение в производство дает дополнительную прибыль руб.

Вывод: В первую очередь стоит приобретать ресурс 2 как более ценный.

Экономический анализ продуктов:

Таблица 11

Продукт	Статус	Относительная оценка в опт плане	Комментарий
	базисный		Выгодный, производится в объеме и дает вклад в прибыль руб.
	базисный		Выгодный, производится в объеме и дает вклад в прибыль руб.
	не базисный		Не производится. Убыток от производства 1 ед. продукта по сравнению с опт. планом составит руб. Производство станет выгодным, если цена реализации увеличивается, по крайней мере, на руб.