Уравнение поверхности в пространстве. Плоскость
Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Положение любой точки М пространства определяется ее координатами х, у, z.
Поверхность в пространстве рассматривается как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению с тремя переменными F(x, y, z)=0. Этому уравнению не могут удовлетворять координаты никакой точки, не лежащей на поверхности. В этом случае уравнение F(x, y, z)=0 называют уравнением поверхности.
Пример № 7
Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке М0(х0, у0, z0). Так как любая точка М(х, у, z) сферы отстоит от центра на расстояние, равное радиусу сферы, то
или 
.
Получим уравнение
,
которое и является уравнением сферы.
Простейшей поверхностью является плоскость. Получим уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Пусть даны точка М0(х0, у0, z0) и вектор 
, перпендикулярный плоскости.
Если точка М(х, у, z) – любая точка плоскости, то вектор 
лежит в плоскости и должен быть перпендикулярен вектору 
, т. е. скалярное произведение этих векторов равно нулю:
Запишем это условие в координатах.
; 
Условие перпендикулярности примет вид:
А × (х–х0) + В × (у–у0) + С × (z–z0) = 0 (7)
Полученное уравнение и является уравнением плоскости, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно вектору 
, который называют нормальным вектором плоскости.
Это уравнение легко привести к виду:
А × х + В × у + С × z + D = 0 (8)
– общее уравнение плоскости.
Заметим, что уравнение плоскости является уравнением первой степени с тремя переменными. Поэтому плоскость называют поверхностью первого порядка. Ранее полученное уравнение сферы – второй степени относительно х, у, z. Поэтому сфера – поверхность второго порядка.
Рассмотрим уравнения некоторых плоскостей.
Если плоскость проходит через начало координат, то свободный член D в общем уравнении (8) плоскости равен нулю, и уравнение плоскости имеет вид:
А × х + В × у + С × z = 0.
Уравнение координатной плоскости Оху можно получить, если в качестве нормального вектора 
взять вектор 
, где точка М1(0,0,1), точка О(0,0,0). Тогда 
и уравнение координатной плоскости Оху: z=0. Аналогично,
х=0 – уравнение плоскости Оуz,
у=0 – уравнение плоскости Охz.
Очевидно, что уравнения х=a, у=b, z=c определяют три плоскости, параллельные трем координатным плоскостям.
Угол между плоскостями, заданными своими общими уравнениями:
А1 × х + В1 × у + С1 × z + D1 = 0 и
А2 × х + В2 × у + С2 × z + D = 0
равен углу, образованному нормальными векторами 
и 
и вычисляется по формуле
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
А1 × А2 + В1 × В2 + С1 × С2 = 0.
Условие параллельности:
.
Например, плоскости
2х + 3у – 5z + 7 = 0 и 4х + 6у – 10z – 1 = 0 – параллельны.
Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей А1 × х + В1 × у + С1 × z + D1 = 0 и А2 × х + В2 × у + С2 × z + D2 = 0.
Поэтому прямая в пространстве определяется системой двух уравнений первой степени с тремя переменными х, у, z:
общие уравнения прямой. (9)
Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 2976;