Уравнение поверхности в пространстве. Плоскость

Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Положение любой точки М пространства определяется ее координатами х, у, z.

Поверхность в пространстве рассматривается как множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению с тремя переменными F(x, y, z)=0. Этому уравнению не могут удовлетворять координаты никакой точки, не лежащей на поверхности. В этом случае уравнение F(x, y, z)=0 называют уравнением поверхности.

Пример № 7

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке М00, у0, z0). Так как любая точка М(х, у, z) сферы отстоит от центра на расстояние, равное радиусу сферы, то

или .

Получим уравнение

 

,

 

которое и является уравнением сферы.

Простейшей поверхностью является плоскость. Получим уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Пусть даны точка М00, у0, z0) и вектор , перпендикулярный плоскости.

 

Если точка М(х, у, z) – любая точка плоскости, то вектор лежит в плоскости и должен быть перпендикулярен вектору , т. е. скалярное произведение этих векторов равно нулю:

 

Запишем это условие в координатах.

 

;

Условие перпендикулярности примет вид:

 

А × (х–х0) + В × (у–у0) + С × (z–z0) = 0 (7)

 

Полученное уравнение и является уравнением плоскости, проходящей через точку М00, у0, z0) перпендикулярно вектору , который называют нормальным вектором плоскости.

Это уравнение легко привести к виду:

 

А × х + В × у + С × z + D = 0 (8)

 

– общее уравнение плоскости.

Заметим, что уравнение плоскости является уравнением первой степени с тремя переменными. Поэтому плоскость называют поверхностью первого порядка. Ранее полученное уравнение сферы – второй степени относительно х, у, z. Поэтому сфера – поверхность второго порядка.

Рассмотрим уравнения некоторых плоскостей.

Если плоскость проходит через начало координат, то свободный член D в общем уравнении (8) плоскости равен нулю, и уравнение плоскости имеет вид:

А × х + В × у + С × z = 0.

 

Уравнение координатной плоскости Оху можно получить, если в качестве нормального вектора взять вектор , где точка М1(0,0,1), точка О(0,0,0). Тогда и уравнение координатной плоскости Оху: z=0. Аналогично,

х=0 – уравнение плоскости Оуz,

у=0 – уравнение плоскости Охz.

 

 

Очевидно, что уравнения х=a, у=b, z=c определяют три плоскости, параллельные трем координатным плоскостям.

Угол между плоскостями, заданными своими общими уравнениями:

 

А1 × х + В1 × у + С1 × z + D1 = 0 и

А2 × х + В2 × у + С2 × z + D = 0

 

равен углу, образованному нормальными векторами и и вычисляется по формуле

 

 

.

 

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

 

А1 × А2 + В1 × В2 + С1 × С2 = 0.

 

Условие параллельности:

 

.

 

Например, плоскости

2х + 3у – 5z + 7 = 0 и 4х + 6у – 10z – 1 = 0 – параллельны.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей А1 × х + В1 × у + С1 × z + D1 = 0 и А2 × х + В2 × у + С2 × z + D2 = 0.

Поэтому прямая в пространстве определяется системой двух уравнений первой степени с тремя переменными х, у, z:

 

общие уравнения прямой. (9)








Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 2985;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.013 сек.