Миф 3. Там, где есть логика, интуиция не нужна

Это самый безобидный миф. Он не используется против Вас злыми пропагандистами и едва ли мешает Вам жить. Он просто очень интересен. Его разбор вскрывает глубокую сущность логики и нежданно глобальную роль интуиции.

Миф этот можно сформулировать так: «место интуиции – там, где логика не может набрать всей совокупности нужных посылок. Там, где все неясно, неопределенно и неразделимо (в искусстве, например). В таких же ясных и прозрачных областях, как, например, математика, интуиции не место. Логика сделает все сама».

На самом деле все куда интереснее.

Является ли способность логично рассуждать талантом, который есть не у каждого? Нет, нет и еще раз нет.

Быть логичным способен любой человек, который ознакомился с основами логики.

Неспособность к логическому мышлению – это психиатрический симптом. Любителям выдавать неумение за неспособность, да еще и бравировать этим («ой, я гуманитарий!»), стоило бы иметь это в виду.

Итак, научиться мыслить логически может каждый. Почему же тогда теоремы называют именами тех, кто их доказал?

Рассмотрим для примера одну простую теорему.

Простым числом называется такое целое число, которое без остатка делится только на единицу и на само себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11 – простые числа. Всякое целое число, не являющееся простым, называется составным и является произведением нескольких простых чисел. Например, 4 = 2*2, 6 = 2*3, 9 = 3*3 и т. п.

Все понятно? Замечательно. Докажите, что количество простых чисел бесконечно.

Споткнулись? Не надо ссылаться на недостаток знаний. Чтобы доказать эту теорему, не требуется ничего, кроме четырех арифметических действий, остатков и дробей. Это что-то в районе шестого класса.

Попытайтесь хоть на минуту. И отрефлексируйте: на чем Вы споткнулись? Спорим на ящик хорошего коньяка – Вы не знаете, с чего начать.

В этом все и дело. Можно рассуждать так: «Простое число делится без остатка только на единицу и на себя. Четные числа делятся без остатка на два. Значит, четные числа – составные. Количество четных чисел бесконечно. Количество нечетных тоже бесконечно...» Или вот так: «Каждое следующее число в ряду 1, 2, 3… больше предыдущего. Значит, каждое следующее простое число больше предыдущего простого…»Все это верные рассуждения, исходящие из верных посылок. Но дальше-то что? Как перейти от них к тому факту, что количество простых чисел бесконечно?

От каждого утверждения ведет бесконечное количество логически правильных путей в самые разные стороны. Логика не дает ответа, какой из них нужно выбрать, чтобы прийти к нужному утверждению.

Математик, доказавший эту теорему, рассуждал так.

Утверждение «количество простых чисел бесконечно» означает, что каково бы ни было простое число n, существуют простые числа, большие n. Докажем это.

Возьмем любое простое число n. Составим произведение всех простых чисел от 1 до n, обозначив его N:

N = 2*3*5*….*n.

Рассмотрим число N+1. Очевидно, оно не может без остатка делится ни на одно из простых чисел от 2 до n. Например, оно не может без остатка делиться на 2, т. к. (N+1)/2 = N/2 + ½, а N/2 – целое число (равное 3*5*….*n). По тем же причинам N+1 не может без остатка делиться на 3, и т. д. вплоть до n.

Итак, N+1 не может без остатка делиться ни на одно из простых чисел 2, 3, 5… n. Это значит, что либо число N+1 простое, либо есть простые числа, большие n, на которые оно делится. В том и в другом случае получается, что существуют простые числа, большие n.

Итак, каково бы ни было простое число n, существуют простые числа, большие n. Значит, самого большого простого числа нет, и количество простых чисел бесконечно.

Идти нужно было сюда. Рассмотреть произвольное простое число n. Составить произведение всех простых чисел от 2 до n. Прибавить к произведению единицу. И доказать, что получившаяся сумма N+1 не может делиться без остатка ни на одно из простых чисел от 2 до n.

Как нужно было догадаться об этом? Интуитивно. Разумеется, интуитивно, других способов нет.