E.2.1. Векторы

1. Даны натуральные числа n, a₁, ..., a_n. Определить количество членов a_k последовательности a₁, ..., a_n:

а) являющихся нечетными числами;

б) являющихся квадратами четных чисел;

в) кратных 3 и не кратных 5;

г) удовлетворяющих условию ;

д) удовлетворяющих условию ;

е) имеющих четные порядковые номера и являющихся нечетными числами.

2. Даны натуральные числа n, q₁, ..., q_n. Найти те члены q_i последовательности q₁, ..., q_n, которые

а) являются удвоенными нечетным числами;

б) при делении на 7 дают остаток 1, 2 или 5;

в) обладают тем свойством, что корни уравнения действительны и положительны.

3. Дано натуральное число n. Получить сумму тех чисел вида , которые являются утроенными нечетными.

4. Даны целые числа a₁, ..., a₅₀. Получить сумму тех чисел данной последовательности, которые

а) кратны 5;

б) нечетны и отрицательны;

в) удовлетворяют условию .

5.Даны натуральное число n, целые числа a₁, ..., a_n. Найти количество и сумму тех членов данной последовательности, которые делятся на 5 и не делятся на 7.

6. Даны натуральные числа n, p, целые числа a₁, ..., a_n. Получить произведение членов последовательности a₁, ..., a_n, кратных p.

7. Даны целые числа p, q, a₁, ..., a₆₇ ( ).В последовательности a₁, ..., a₆₇ заменить нулями члены, модуль которых при делении на p дает в остатке q.

8.Даны натуральное число n, действительные числа a₁, ..., a_n. Получить удвоенную сумму всех положительных членов последовательности a₁, ..., a_n.

9.Даны натуральное число n, действительные числа a₁, ...,a_n. Вычислить обратную величину произведения тех членов a_i последовательности a₁, ..., a_n, для которых выполнено i+1 <a_i <i!.

10.Даны натуральное число n, действительные числа a₁, ...,a_n. В последовательности а₁, ..., a_n все отрицательные члены увеличить на 0.5, а все не отрицательные заменить на 0.1.

11.Даны натуральное число n, действительные числа x₁, ...,x_n. В последовательности x₁, ...,x_n все члены, меньшие двух, заменить нулями. Кроме того, получить сумму членов, принадлежащих отрезку [3,7], а также число таких членов.

12. Даны натуральное число n, действительные числа a₁, ..., a_n. В последовательности a₁, ..., a_n все неотрицательные члены, не принадлежащие отрезку [1, 2], заменить на единицу. Кроме того, получить число отрицательных членов и число членов, принадлежащих отрезку [1, 2].

13. Даны натуральное число n, целые числа a₁, ..., a_n. Получить сумму положительных и число отрицательных членов последовательности a₁, ..., a_n.

14. Даны натуральное число n, целые числа a₁, ..., a_n. Заменить все большие семи члены последовательности a₁, ..., a_n числом 7. Вычислить количество таких членов.

15.Даны целые числа . Получить число отрицательных членов последовательности и число нулевых членов всей последовательности .

16.Пусть . Даны: неотрицательное целое n, действительные a, b, c, d, q . Принадлежит ли интервалу ?

17.Даны: натуральное число n, целые числа a, ..., . Если в последовательности ..., есть хотя бы один член, равный a, то получить сумму всех членов, следующих за первым таким членом; в противном случае ответом должно быть число 10.

18. Даны: натуральное число n, действительные числа a, b, , ..., . Верно ли, что при всякий раз, когда ,выполнено ?

19.Даны целые числа , ..., . Получить последовательность , ..., , которая отличается от исходной тем, что все нечетные члены удвоены.

20. Вычислить , где

если i нечетное,   в противном случае;

если i нечетное,   в противном случае.

21. Даны натуральные числа n, ,..., . Вычислить , где

если x кратно 3 , если x при делении на 3 дает остаток 1 в остальных случаях

22.Даны натуральное число n, действительные числа r, ,..., . Сколько среди точек ( , ), ...,( , ), ( , ) таких которые принадлежат кругу радиуса r с центром в начале координат?

23. Даны целые числа а, n, , ..., (n>0). Определить, каким по счету идет в последовательности , ..., член, равный а. Если такого члена нет, то ответом должно быть число 0.

24. Даны натуральное число n, действительные числа , ..., . Получить:

а)	б)
в)	г)
д)	е)
ж) +	з) -

25. Даны натуральное число n, действительные числа .

a) Верно ли, что отрицательных членов в последовательности больше чем положительных ?

б) Верно ли, что наибольший член последовательности по модулю больше единицы ?

26.У прилавка в магазине выстроилась очередь из n покупателей. Время обслуживания продавцом i-го покупателя равно (i=1, ... , n). Пусть даны натуральное число n и действительные . Получить , где c_i - время пребывания i - го покупателя в очереди (i=1, ... , n). Указать номер покупателя, для обслуживания которого продавцу потребовалось самое малое время.

27. В некоторых видах спортивных состязаний выступление каждого спортсмена независимо оценивается несколькими судьями, затем из всей совокупности оценок удаляются наиболее высокая и наиболее низкая, а для оставшихся оценок вычисляется среднее арифметическое, которое и идет в зачет спортсмену. Если наиболее высокую оценку выставило несколько судей, то из совокупности оценок удаляется только одна такая оценка; аналогично поступают с наиболее низкими оценками.

Даны натуральное число n, действительные положительные числа (n 3). Считая, что числа - это оценки, выставленные судьями одному из участников соревнований, определить оценку, которая пойдет в зачет этому спортсмену.

28. Даны натуральное число n, действительные числа . Получить и .

29. Дано натуральное число n. Найти наибольшее среди чисел (k=1, ..., n), а также сумму всех этих чисел.

30. Даны натуральное число n, целые числа . Найти:

а) наименьшее из четных чисел, входящих в последовательность a₁-1, a₁, ..., a_n;

б) наибольшее из нечетных и количество четных чисел, входящих в последовательность a₁, ..., a_n , a_n+1.

31.Даны натуральное число n, действительные числа , ..., . Получить все натуральные числа j , для которых .

32. Пусть i=3, 4, ... . Среди найти ближайшее к какому-нибудь целому.

33.Пусть i=2, 3, ... . Получить .

34.Пусть i=1, 2, ... . Дано натуральное n. Среди найти все положительные числа, среди положительных выбрать наименьшее число.

35.Пусть ; k= 2, 3, ... . Найти сумму квадратов тех чисел , которые не превосходят двух.

36. Даны натуральное число n, действительные числа . В последовательности определить число соседств:

37.Даны целые числа . Имеются ли в последовательности :

38.Даны натуральное число n, действительные числа . Последовательность чисел определяет на плоскости n квадратов со сторонами, параллельными координатным осям: так , - координаты центра первого квадрата, - длина его стороны; аналогично числа , , определяют второй квадрат, , , - третий и т.д. Имеются ли точки, принадлежащие всем квадратам? Если да, то указать координаты одной из них.

39. Даны натуральное число n, действительные числа . Вычислить сумму чисел ,..., , которые превосходят по величине все числа .

40.Даны действительные числа a, b (a<b), натуральное число n, функция y=f(x), определенная на отрезке [a, b]. Для значений аргумента (i = 0, 1, ..., n), вычислить значения функции

(i=0, 1,..., n). Вывести и (i=0, 1, ..., n)в виде таблицы из двух колонок. В i-ю строку таблицы заносятся соответствующие значения и . Рассмотреть следующие функции:

а) , n=50;

б) , a=-1, b=2, n=30;

в) a=0, b=2 , n=50;

г) , a=-1, b=3, n=40;

д) a=-3, b=5, n=40.

41.Рассматривается последовательность , ..., . Требуется определить, сколько членов последовательности с номерами 1, 2, 4, 8, 16, ... имеют значение, меньшее, чем 0.25. При этом считать, что

а) , k=1, 2, ..., 1000;

б) , ..., - заданные действительные числа;

в) =0.01; , k=2, ... , 1000.

42. Даны натуральное число n, действительные числа . Получить (1+r)/(1+s), где r - сумма всех тех членов последовательности , которые не превосходят 1, а сумма s - сумма всех членов, больших 1.

43. Даны натуральное число n, действительные числа . Найти:

а) где		при çyiç£2, в противном случае;
б) где		при çyiç>1, в противном случае;
в) , где		при , в противном случае;
г) где		при 0<çyiç<10, в противном случае;
д) где		при çyiç<1, в противном случае;

44.Даны целые числа , , ... Известно, что >0 и что среди , , ... есть хотя бы одно отрицательное число. Пусть , ..., - члены данной последовательности, предшествующие первому отрицательному члену (n заранее не известно). Получить:

а)

б)

в)

г)

д)

е) количество четных среди , ..., ;

и) количество квадратов нечетных чисел среди , ..., ;

ж) количество удвоенных нечетных среди ,..., ;

з) количество полных квадратов среди , ..., .

45. Дано натуральное число n. Получить все натуральные делители.

46. Дано натуральное число n. Получить все такие натуральные q, что n делится на и не делится на .

47. Даны натуральные числа m, n. Получить все их натуральные общие кратные, меньше mn.

48.Даны целые числа m, n (m 0, n 0). Получить все их общие делители (положительные и отрицательные).

49.Даны натуральное числа n, действительные числа , ..., . Выяснить, является ли последовательность , ..., упорядоченной по убыванию.

51.Даны натуральное число n, действительные числа , ..., . Найти длину наименьшего отрезка числовой оси, содержащего числа , ..., .

52. Даны действительные числа x, . Выяснить, во-первых, верно ли, что , и, во-вторых, верно ли, что , где - наименьшее, а - наибольшее среди . (Какие комбинации ответов на первый и второй вопросы возможны?)

53. Даны натуральное число n, действительные числа а, ,..., ( ). Получить последовательность , членами которой являются члены последовательности ,..., и значение а, такую, что .

54.Даны натуральное число n, целые числа , ..., . Оставить без изменения последовательность , ..., , если ее члены упорядочены по не убыванию или по не возрастанию. В противном случае получить подпоследовательность , ..., (m>n), где m таково, что либо и , либо и .

55. Даны натуральное число n, действительные числа а, ,..., . Получить в порядке следования все , удовлетворяющие неравенствам .

56. Даны натуральное число n, целые числа , ..., .

а) Выяснить, какое число встречается в последовательности , ..., раньше - положительное или отрицательное. Если все члены последовательности равны нулю, то сообщить об этом.

б) Найти номер первого четного члена последовательности , ..., ; если четных членов нет, то ответом должно быть число 0.

в) Найти номер последнего нечетного члена последовательности , ..., ; если нечетных членов нет, то ответом должно быть число n+1.

57. Даны натуральное число n, целые числа , ..., , , ..., , , ..., . Верно ли, что отрицательный член в последовательности , ..., встречается раньше, чем в последовательностях , ..., и , ..., ? Предполагается, что каждая из последовательностей содержит хотя бы один отрицательный член.

58. Дано натуральное число n, действительные числа , ..., . Выяснить, образуют ли возрастающую последовательность числа:

а) , ...,

б) , ..., ,

в) , ..., ,