Применение карт в проекции Гаусса для навигационных целей

Для навигационных целей наиболее употребительны карты масштаба 1 : 100000 и крупнее. При таких масштабах ошибки графической прокладки определений места по сеткам изолиний будут незначительными и карты обеспечат точное вождение корабля по заданной линии пути с осуществлением коррекции курса на основе определений места.
Наиболее часто встречающимися навигационными задачами, решаемыми на карте в проекции Гаусса, являются:

— нанесение точки по заданным координатам или измерение (снятие) координат заданной точки;
— прокладка направлений (пеленгов);
— счисление пути корабля;
— прокладка определений места.

На проекции Гаусса, помимо координатных линий прямоугольной системы координат, прямыми изображаются линии дирекционных направлений, пересекающие километровые линии под постоянным углом a или Т.
Линия кратчайшего расстояния — ортодромия (для шара) — изображается на проекции Гаусса кривой, обращенной выпуклостью от осевого меридиана и составляющей со стягивающей ее хордой небольшой угол d''. Поправка d'' вследствие ее малой величины при решении навигационных задач не учитывается. Иными словами, при решении навигационных задач можно считать, что отрезки ортодромии на карте изображаются прямыми линиями.
Локсодромия на проекции Гаусса изображается кривой, обращенной выпуклостью от полюса. Стягивающая локсодромию хорда — прямая линия на карте — практически совпадает с изображением ортодромии вследствие малости угла d''. При сравнительно небольших плаваниях углы f1 и f2, которые локсодромия составляет со стягивающей ее хордой (рисунок), можно принять равными f1 = f2 = f, а локсодромию можно принять за дугу окружности.

Рисунок позволяет заключить:

Т = ИК - g1 - f и Т = ИК - g2 + f2;

- g1 - f = - g2 + f2,

Откуда

f = (g2 - g1) / 2. (130)

Следовательно, угол, который составляет локсодромия со стягивающей ее хордой, равен полуразности углов сближения меридианов в точках А и В, т. е. в начале и в конце локсодромии.

Принимая отрезок локсодромии AСВ за дугу окружности (рисунок), имеющую радиус, равный R, и центр в точке О, можно написать

ÈACB = Sлок = 2Rf;

AB = Sорт = 2Rsin f,

откуда

Sлок / Sорт = f / sin f.

Представив sin f в виде ряда и ограничиваясь по малости f двумя членами разложения, перепишем последнее выражение в виде

Sлок / Sорт = f / (f - f³ / 6) или Sлок / Sорт = 1 / (1 - f² / 6),

Откуда

Sорт = Sлок - Sлок *(f² / 6).

Обозначив Sлок - Sорт через Δs, получим Δs = Sлок (f² / 6). (131)

Выражая f в минутах дуги, будем окончательно иметь

Δs = Sлок (f² / 6) arc 1'. (132)

Расчеты по последней формуле показывают, что при Sлок =75 миль в j = 60° ошибка от замены локсодромии стягивающей ее хордой оказывается равной примерно 15 м. Если линию локсодромии длиной до 30 миль заменить отрезком хорды, то ошибка Δs не выйдет за пределы 10 м.