Метод минимакса

Этот метод предназначен для ситуации, когда отсутствуют предварительные статистические сведения о вероятности диагнозов D₁ и D₂. Рассматривается «наихудший случай», то есть наименее благоприятные значения P₁ и P₂, приводящие к наибольшему значению (максимуму) риска.

Величина риска зависит отk₀ и P₁ (вероятность второго диагноза P₂ = 1 - P₁), в частности

. (3.16)

здесь C₁₁ и C₂₂ - стоимости правильных решений.

Для нахождения экстремума уравнение (3.16) преобразуют (приравнивают частные производные по k₀ и P₁ к нулю). Условие dR/dk₀ = 0 дает

. (3.17)

Условие dR/dP₁ = 0 дает

. (3.18)

Значения k₀ и P₁, являющиеся корнями уравнений (3.17) и (3.18), определяют экстремальную точку R(k₀, P₁). Для одномодальных распределений величина риска становится минимальной (то есть минимальной среди максимальных значений, вызванных «неблагоприятной» величиной P₁). По методу минимакса выбирают величину k₀таким образом, чтобы при наименее благоприятных значениях P₁ потери, связанные с ошибочным решением, были минимальными.

Опуская процедуры точного решения уравнений (3.17) и (3.18) (например, с помощью метода Ньютона) представим приближенные решения. Так, в первом приближении можно принять, что . Тогда из (3.17) находим наименее благоприятное значение вероятности исправного P^*₁ и неисправного P^*₂ состояний:

,

.

Величину риска определяем из равенства (3.16) при значениях k = k^*₀, P₁ = P^*₁. Вероятность ложной тревоги и пропуска дефекта может быть найдена из соотношения

,

где - функция распределения D₁ (в общем виде);

- функция распределения D₂ (в общем виде).