Виды конических сечений

В зависимости от положения секущей плоскости различают следующие сечения:

- плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает его поверхность по образующим;

- плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает его поверхность по окружности;

- плоскость, пересекающая все образующие конуса, пересекает его поверхность по эллипсу (рис. 6.11).

В этом случае угол наклона секущей плоскости к оси конуса больше угла между образующей конуса и его осью.

Рис. 6.11

Фронтальная проекция фигуры сечения изобразится отрезком 1"5", совпадающим со следом – проекцией секущей плоскости.

Горизонтальная и профильная проекции сечения будут эллипсы, которые строятся по точкам.

Для этого наметим на поверхности конуса восемь равномерно расположенных образующих и по фронтальным проекциям точек их пересечения с плоскостью a находим горизонтальные и профильные проекции этих точек. Горизонтальные проекции точек 3 и 7, в которых плоскость a пересекает переднюю и заднюю образующие конуса, получаем через их профильные проекции.

Отрезки 1¢5¢ на плоскости проекций p₁ и 1¢¢¢5¢¢¢ на плоскости проекций p₃ являются для эллипсов, представляющих горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения, соответственно одной из осей.

Обычно для каждого из этих эллипсов определяют вторую ось, так как наличие обеих осей облегчает построение эллипсов. Для эллипса на плоскости проекций p₁ эта вторая ось будет малой, а для эллипса на плоскости проекций p₃ может оказаться как большой, так и малой в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к конической поверхности.

Для построения вторых осей названных эллипсов разделим отрезок 1"5" точкой (А"ºВ") пополам. Точка (А"ºВ") – это фронтальная проекция малой оси АВ эллипса, по которому плоскость a пересекает коническую поверхность.

Вторые оси эллипсов можно построить при помощи вспомогательной горизонтальной плоскости уровня w, проведя ее фронтальный след через точку (А"ºВ").

Эта плоскость пересечет коническую поверхность по окружности некоторого радиуса. Построив горизонтальную проекцию этой окружности, найдем на ней горизонтальные проекции точек А и В и вместе с тем малую ось эллипса на плоскости проекций p₁. Наконец, по горизонтальным проекциям точек А и В находим на w¢¢¢ их профильные проекции и получаем вторую ось эллипса на плоскости проекций p₃. Именно таким приемом и построены отрезки А¢В¢ и А¢¢¢В¢¢¢ на рис. 6.11.

При некотором наклоне секущей плоскости отрезки 1¢¢¢5¢¢¢ и А¢¢¢В¢¢¢ могут оказаться равными, и в этом случае профильная проекция фигуры сечения будет окружностью. Проекция фигуры сечения на плоскости, перпендикулярной оси конуса (в данном случае на плоскости проекций p₁), окружностью быть не может.

- плоскость, параллельная одной из образующих конуса, пересекает его поверхность по параболе (рис. 6.12);

В этом случае угол наклона секущей плоскости к оси конуса равен углу между образующей конуса и его осью.

На рис. 6.12 секущая плоскость a проведена параллельно левой образующей конуса.

На фронтальную плоскость проекций фигура сечения проецируется в виде отрезка (1"º2") – 5", совпадающего со следом-проекцией секущей плос­кости.

Горизонтальная и профильная проекции сечения будут параболы, которые строятся по точкам.

Из рис. 6.12 следует, что плоскость a пересекает основание конуса по прямой 12, по горизонтальной проекции которой 1¢2¢ находим ее профильную проекцию 1¢¢¢2¢¢¢.

Далее, без каких-либо дополнительных построений по фронтальной проекции вершины фигуры сечения – точке 5¢¢ получаем ее горизонтальную и профильную проекции – точки 5¢ и 5¢¢¢.

Рис. 6.12

Точно так же фронтальные проекции точек 3 и 4, в которых плоскость a пересекает переднюю и заднюю образующие конуса, дают возможность получить их профильные проекции 3¢¢¢ и 4¢¢¢, а по ним и горизонтальные проекции 3¢ и 4¢.

Поскольку этих точек для определения очерков проекций сечения недостаточно, находятся несколько дополнительных точек 6, 7, 8, 9. Эти точки определяются по принадлежности поверхности конуса с помощью параллелей, проведенных через отмеченные точки.

- плоскость, параллельная двум образующим конуса, пересекает его поверхность по гиперболе (рис. 6.13).

Секущая плоскость a параллельна образующим конуса SK и SL, фронтальные проекции которых параллельны следу-проекции плоскости a.

Рис. 6.13

В этом случае, как это видно из того же чертежа, плоскость a пересекает обе полы конической поверхности, а, следовательно, сечение будет представлять фигуру, ограниченную двумя ветвями гиперболы с вершинами в точках 5₁ и 5₂, расположенными в плоскости a симметрично точки О – сере­дины отрезка 5₁5₂. Одна из ветвей этой гиперболы показана на рис. 6.13 построена приемом, примененным при рассмотрении построения предыдущего конического сечения.

В частном случае кривую того же названия гиперболу получим, если пересечем конус плоскостью, параллельной его оси. При таком положении секущей плоскости последняя будет параллельна двум прямо противоположным образующим конуса.

На рис. 6.14 показано пересечение конической поверхности фронтальной плоскостью a (она параллельна левой и правой образующим конуса).

Рис. 6.14