Системы переменных и ограничений

Постановка задачи и критерий оптимальности

Оптимизация структуры кормовых рационов является одной из простейших планово-экономических задач, при решении которых применяются методы линейного программирования.

Сущность задачи состоит в разработке и оптимизации модели структуры кормового рациона для определенного вида (группы) животных (птицы) на определенный период (сутки, месяц, год) с учетом зоотехнических требований и экономических предпочтений.

Зоотехнические требования включают требования к питательности рационов (содержание в рационе кормовых единиц, сырого и переваримого протеина, минеральных веществ, отдельных аминокислот, сухого вещества, масса рациона и др.) и требования к структуре групп и видов кормов в рационе (соотношение отдельных групп и видов кормов, их предельные минимальные и максимальные нормы содержания в рационе).

Экономические предпочтения определяются целями решения задачи.

Целями решения задачи могут выступать следующие: снижение стоимости кормовых рационов; снижение расхода дефицитных групп, видов кормов; повышение продуктивности животного; повышение качества и рыночной стоимости продукции; оптимизация соотношения видов питательных веществ и добавок, прочие.

Основной целью является снижение стоимости рациона. Как правило, критерием оптимальности выступает минимальная стоимость рациона.

Общий вид математической записи цели задачи (функции цели):

Σ c_j x_j à min (j€J)

где x_j – искомое количество j-го вида корма (добавок) в рационе в натуральных единицах (гр., кг, ц, мг);

J – количество видов корма;

c_j – оценка единицы j-го вида корма в единицах критерия оптимальности (руб., коп.).

Системы переменных и ограничений

Система переменных задачи включает следующие группы показателей: 1) основные переменные – количество кормов, различных добавок в корм (витаминные, минеральные, белковые и др.) по видам. Выбор единиц измерения переменных определяется видом скота (птицы) и периодом, на который составляется рацион; 2) вспомогательные переменные – вводятся с целью установления предельных границ содержания отдельных видов и групп кормов в рационе и отражают суммарное содержание в нем кормовых единиц, переваримого протеина, других питательных веществ.

В задаче различают следующие группы ограничений:

1. Основные ограничения отражают условия по содержанию питательных веществ в рационе. Общий вид математической записи:

Σ a_ij x_j ≥ b_i (j€J, i€I)

≤

где а_ij – содержание i-го вида питательного вещества в j-ом виде корма;

x_j – искомое количество j-го вида корма в рационе;

b_i - минимально (максимально) допустимое количество i-го питательного вещества в рационе;

I – количество видов питательных веществ, рассматриваемых в модели;

J – количество видов кормов;

j – порядковый номер вида корма;

i – порядковый номер вида питательного вещества.

2. Дополнительные ограничения отражают условия по содержанию (первая подгруппа - двухсторонние) и соотношению (вторая подгруппа) отдельных видов или групп кормов и кормовых добавок в рационе. Общий вид математической записи ограничений первой подгруппы:

Σ a_ij x_j - a_kix_i^’ ≥ 0, Σ a_ij x_j - b_kix_i^’ ≤ 0 (j€k, i€I, k€K)

где a_k – минимальный удельный вес i-го питательного вещества k-й группы кормов в общем количестве i-го питательного вещества в рационе, в долях по питательности;

b_k – максимальный -//-;

x_i^’ – вспомогательные переменные, отражающие количество i-го вида питательного вещества в рационе (как правило, i€2);

k – множество кормов, входящих в k-ю группу;

К – множество групп кормов.

Общий вид математической записи ограничений второй подгруппы:

Σ c_kj x_j - Σ d_kjx_j ≤ 0 (k€K)

j€k j€k

где c_kj, d_kj – коэффициенты пропорциональности рассматриваемых двух групп кормов, для которых справедливо соотношение: d_2j : c_1j ≥ Σx_j : Σx_j .

j€2 j€1

3. Вспомогательные ограничения используют для подсчета суммарного количества различных видов питательных веществ в рационе. Общий вид математической записи:

Σ a_ij x_j - x_i^’ = 0.

4. Условия неотрицательности переменных: x_j ≥ 0; x_i^’ ≥ 0.