Принадлежность точки и линии поверхности

 

Ограничив призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, пересекающими образующие, получаем призму. Ограничив пирамидальную поверхность одной плоскостью, будем иметь пирамиду. Тогда эти секущие плоскости называются основаниями многогранника, а образующие поверхности – боковыми поверхностями.

Рассмотрение образования боковых поверхностей многогранников с использованием таких понятий, как образующая и направляющая, играет большую роль в решении задач начертательной геометрии.

Построение любых проекций точек на поверхности многогранника осуществляется наиболее эффективно при помощи образующих и направляющих, хотя можно использовать и другие приемы.

Как правило, задача формулируется следующим образом: по двум проекциям многогранника построить третью и начертить недостающие проекции точки или линии на его поверхности.

Рассмотрим пример.

Пусть заданы фронтальная и горизонтальная проекции наклонной призмы. Требуется построить отсутствующие проекции точек на ее поверхности, если на чертеже (рис.3.7) есть точки 12, (21), (31), 41, (52).

Построим последовательно отсутствующие проекции точек.

Рис. 3.7. Построение точек на поверхности призмы.

Так как точка 12 лежит на ребре Е2Е2*, то 11 – на ребре Е1*Е1, что позволяет получить ее по линии связи. Поскольку ребро Е1Е1* невидимое, то и (11) – невидимая.

Точка (21) – невидимая, значит она принадлежит грани Е1*Е1 D1D1*. Проводим через нее образующую, параллельную любому боковому ребру, до пересечения с основанием. Затем по линии связи получаем фронтальную проекцию точки на основании (на ребре Е2*D2*), после чего проводим через эту точку образующую и на ней по линии связи от (21) находим 22. Поскольку на фронтальной проекции грань Е2*Е2 D2 D2* видимая, то и точка 22 видимая.

Так как точка 31 невидимая, то она лежит на основании А1*В1*С1*D1*Е1*. Следовательно, точка 32 строится по линии связи, ведь на П2 основание призмы представляет собой прямую А222*D22*.

Используя описанный принцип можно построить остальные проекции (42), 51.

Рассмотрим достаточно традиционную задачу построения проекций точек, лежащих на поверхности прямой пирамиды (рис. 3.8). Пусть заданы фронтальная и горизонтальная проекции пирамиды SABC и проекции точек 12, 22, 32. Надо построить третью проекцию пирамиды и отсутствующие горизонтальные и профильные проекции точек 1, 2, 3.

Для построения профильной проекции пирамиды через вершину S проведем фронтальную плоскость уровня. Тогда ее горизонтальная Ф1 и профильная Ф3 проекции будут служить базовыми линиями взамен традиционных осей проекций ОХ и ОY. Точку S3 получаем по линиям связи на базовой линии. Затем определяем положение точек А3=С3 и В3, откладывая от базовой линии Ф3 отрезки , равные расстояниям от А1, С1, В1 до Ф1 соответственно. Соединив точки основания вершиной, получаем профильную проекцию пирамиды. Как видим, грань SAC на профильной плоскости проекций вырождается в линию S3A3 ( или S3C3).

Решим вторую часть задачи – построение отсутствующих проекций точек 1, 2, 3. Для определения положения горизонтальной проекции 11 используем образующую пирамиды: проведем через вершину S2 и точку 12 прямую до пересечения с ребром А2В2 основания. Затем по линии связи получим горизонтальную проекцию этой точки на ребре А1В1. Соединив полученную точку с вершиной S1, будем иметь горизонтальную проекцию образующей. На ней и лежит точка 11, положение которой определим по линии связи 12. Аналогично можно построить горизонтальную проекцию 21, с учетом того, что (22) – невидимая. Значит точка 2 лежит на грани SAC. Тогда основание образующей попадает на ребро АС основания. В остальном построения полностью повторяют предыдущие.

 

Рис. 3.8. Построение точек на поверхности пирамиды.

 

Однако для определения положения горизонтальной проекции 31 использовать образующую не представляется возможным, так как ребро SB, на котором лежит точка 3, в проекциях на П1, П2 дает вертикальную прямую (т.е. является профильной линией уровня). В этом случае используют линию, параллельную основанию. Через точку 32 проводят прямую, параллельную А2В2, до пересечения с ребром S2A2. Затем на ребре S1A1 по линии связи получают горизонтальную проекцию точки пересечения, через которую проводят прямую параллельно А1В1. Поскольку точка 3 лежит на этой прямой, то продолжая ее горизонтальную проекцию до пересечения с ребром S1В1, получаем точку 31.

Профильную проекцию 13 строим на основании взаимосвязи между горизонтальной и профильной проекциями точки. А именно, откладываем по линии связи, проходящей через 12, от базовой линии Ф3 вправо отрезок, равный расстоянию от 11 до Ф1, как это делалось при построении профильной проекции пирамиды. Точка 23 лежит на пересечении горизонтальной линии связи, проходящей через 22, и грани S3A3C3, превратившейся в прямую S3A3. Наконец, точку 33 находим на горизонтальной линии связи, проходящей через 32 и ребро S3В3.

Следует заметить, что горизонтальную проекцию 31 можно найти через профильную. Для этого измеряем расстояния от 33 до Ф3 и откладываем его вниз от Ф1 по ребру S1В1.

При использовании базовой линии (взамен осей проекций) необходимо учитывать направление, в котором строятся проекции. Подчеркнем, что когда горизонтальная проекция какой-либо точки расположена ниже Ф1, профильная проекция этой точки лежит вправо от Ф3, если горизонтальная проекция выше Ф1, тогда профильная проекция левее Ф3. Это достаточно очевидно, так как профильная проекция соответствует взгляду на любую точку (а следовательно, и любой геометрический объект) слева.

Линию на поверхности многогранника можно построить по характерным точкам, которыми являются точки ее изгиба и точки перехода через ребра. При этом следует помнить, что ломаная линия на поверхности многогранника будет ломаной, состоящей из отрезков прямой , в любой плоскости проекций, а кривая – кривой ( за исключением частных случаев).

Рассмотрим примеры.

По фронтальной проекции А2В2С2D2 ломаной линии, лежащей на поверхности прямой шестигранной призмы (рис. 3.9), построить горизонтальную и профильную проекции.

Рис. 3.9. Построение ломаной линии на поверхности призмы.

 

Поскольку призма прямая и ее боковые ребра являются горизонтально-проецирующими линиями, то на П1 ее боковые грани вырождаются в отрезки прямой, составляющие ломаную линию (шестиугольник). Следовательно, горизонтальная проекция любой точки боковой поверхности призмы лежит на этом шестиугольнике, в том числе и точки линии А1В1С1D1..

Для построения профильной проекции А3В3С3D3 требуется найти промежуточные точки ломаной, лежащие на ребрах призмы. Это точки 1, 2, 3, 4, являющиеся также характерными. По фронтальным проекциям 12, 22, 32, 42, найдем профильные проекции 13=23, 33=43, используя горизонтальные линии связи. Аналогично строим точки В3, D3. Они лежат на том же ребре , т.к. грань, являющаяся фронтальной линией уровня, превращается на П3 в прямую. Точки А3, С3 получаем, откладывая от Ф3 вправо по линии связи с А2, С2 расстояние, отмеренное от А1, С1 до Ф1. Соединяя полученные точки, имеем решение в виде замкнутой ломаной А313В323С343D333А3. Заметим, если линия на поверхности многогранника замкнутая, то и все ее проекции замкнутые линии.

Решим следующую задачу. По фронтальной проекции кривой линии, лежащей на поверхности прямой пирамиды, построить горизонтальную и профильную (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Построение кривой линии на поверхности пирамиды.

 

Характерными точками для этой кривой будут точки 12, 22, 32, 42, ее пересечения с ребрами S2B2, S2С2. Промежуточных точек можно выбрать любое количество (чем больше, тем точнее решение): 52, 62, 72, 82, 92.

Горизонтальные и профильные проекции характерных точек 13=23 и 33=43 получим по линиям связи. Далее любую из промежуточных точек построим, используя прямые, параллельные соответствующим ребрам основания. Так, для точки 72 эта прямая параллельна С2D2, следовательно, на П1 она параллельна С1D1.

По горизонтальным и фронтальным проекциям, используя правило взаимосвязи проекций, строятся профильные проекции. Соединив проекции точек, получим замкнутую кривую 13932383733363435313, невидимые участки которой обозначим пунктирной линией.

Таким образом, построение проекций любой, сколь угодно сложной, кривой базируется на построении проекций точек, расположенных на этой кривой.

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Образование и приближенная классификация поверхностей | Определение натуральной величины фигуры сечения




Дата добавления: 2019-10-16; просмотров: 185; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.