Графическое решение позиционных и метрических задач

Позиционные задачи на плоскости

Позиционными называются задачи на определение каких-либо общих элементов геометрических объектов, например, точки пересечения прямой и плоскости, линии пересечения двух плоскостей.

Пересечение прямой и плоскости

Задачу на пересечение прямой и плоскости можно решать с помощью вспомогательной секущей плоскости, которая должна удовлетворять следующим условиям:

— быть плоскостью частного положения, так как именно плоскость частного положения проецируется на соответствующую плоскость проекций в виде прямой;

— проходить через прямую, точку пересечения которой с плоскостью мы отыскиваем.

Рассмотрим сначала частный случай.

Пусть плоскость занимает частное положение в пространстве, например, является горизонтально-проецирующей и задана треугольником АВС (рис. 2.12, а). Необходимо найти точку пересечения ее с прямой а, заданной произвольно. Поскольку на П₁ горизонтально–проецирующая плоскость вырождается в прямую S₁, то горизонтальной проекцией точки пересечения будет К₁. Далее по линии связи на прямой а₂ (очевидно точка пересечения К принадлежит прямой а) найдем фронтальную проекцию К₂ точки пересечения.

Осталось определить видимые участки прямой а, поскольку на П₂ часть указанной прямой будет закрыта от наблюдателя плоскостью DАВС. Для этого необходимо рассмотреть точку, где пересекаются фронтальные проекции а и какой-либо прямой ( например, АС ), лежащей в плоскости DАВС. Обозначим эту точку 1₂. Но пересекаться прямая а и DАВС могут только в одной точке, которую мы отыскали (К₂). Все остальные точки будут точками, где они скрещиваются. Следовательно, прямая а и АС скрещиваются в пространстве. Значит, все точки, где пересекаются их проекции, будут конкурирующими, а именно 1₂=2₂. Тогда на П₁ имеем по линии связи 1₁ÎА₁С₁ и 2₁ Î а₁. Видимой является точка 2, которая принадлежит прямой а. Это сохраняется до точки пересечения К₂. Затем, естественно, участок прямой а будет невидим (обозначается пунктирной линией) до выхода из-под плоскости DАВС. Теперь задачу можно считать полностью решенной.

Рассмотрим общий случай.

Пусть плоскость задана треугольником DАВС. Здесь и в дальнейшем используем задание плоскости в основном треугольником, так как в этом случае решение задачи наиболее наглядно. Необходимо найти точку пересечения произвольно заданной прямой в с DАВС (рис. 2.12, б).

Как указано выше, нужно через прямую в провести плоскость частного положения (например, фронтально-проецирующую). Линия пересечения этой плоскости совпадает с прямой в на П_2, т.е. S₂=в₂ . Тогда по точкам пересечения 3₂ и 4₂ построим точки 3₁ и 4₁, а следовательно, и прямую 3₁4₁, являющуюся горизонтальной проекцией линии пересечения плоскости S и DАВС. Но так как прямая 34ÌDАВС, то точка К₁ будет горизонтальной проекцией точки пересечения прямой в и DАВС. По ней найдем и фронтальную проекцию К₂, которая, очевидно, должна быть расположена на в₂ (ведь точка пересечения принадлежит и прямой в и D АВС ).

Определим видимые участки прямой в на обеих проекциях по конкурирующим точкам. Для определения видимости на П₂ используем фронтально-конкурирующие точки (например, точки 3₂=5₂, где скрещиваются в₂ и А₂В₂). Очевидно, что точка 3₁ ближе к нам, чем точка 5₁. Следовательно, на П₂ выше 3₂, тогда в этой точке А₂ В₂ выше, а в₂ лежит под ней. Это верно только до точки пересечения К₂. Далее, естественно, выше будет в₂. Аналогично по горизонтально–конкурирующим точкам (например, 6₁=7₁) определяем, что в точках 6₁=7₁ прямая В₁С₁ лежит выше, чем в₁, так как точка 7₂ расположена выше, чем точка 6₂. Невидимый участок прямой в обозначаем пунктирной линией.

Следует иметь в виду, что когда плоскость задана не плоской фигурой, можно говорить лишь о видимости отдельных участков прямой относительно плоскости, хотя такая постановка задачи верна и в случае плоской фигуры.

Предыдущую задачу можно сформулировать несколько иначе: определить видимость участков прямой в относительно точки ее пересечения с плоскостью, которая задана DАВС, а не с самим треугольником АВС. Тогда невидимые участки левее точки К₂ и правее К₁ мы должны были бы продлить до бесконечности.

Более наглядно эту особенность можно проинтерпретировать на примере (рис. 2.12, в), где плоскость задана пересекающимися прямыми а и в. Ход решения ничем не отличается от предыдущего, но невидимость участков прямой с уже не ограничена геометрическими элементами, задающими плоскость.

Таким образом, чем бы ни была задана плоскость, точку ее пересечения с прямой можно найти, используя секущую плоскость частного положения, проходящую через эту прямую, а видимость (или невидимость) на плоскостях проекций отдельных участков прямой – с помощью конкурирующих точек.

Метрические задачи на плоскости

Метрическими называются задачи по определению натуральной величины геометрических объектов (отрезка прямой или плоскости), либо кратчайшего расстояния между геометрическими объектами. Наиболее универсальным для решения таких задач принято считать способ замены плоскостей проекций, который заключается в следующем: оставляют неизменным положение в пространстве геометрического объекта, а заменяют одну или последовательно обе плоскости проекций так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости оказались параллельными одной из новых плоскостей проекций.

Тогда одна из основных плоскостей проекций П₁ или П₂ заменяется новой плоскостью проекций П₄, подходящим образом расположенной относительно изображаемого геометрического объекта, но перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций.

В результате замены одной из основных плоскостей на плоскость проекций П₄ получаем вместо старой системы плоскостей проекций П₁/П₂ новую систему П₁/П₄ (рис. 2.15), если заменялась плоскость П₂, и систему П₂/П₄, если заменялась плоскость П₁.

Рис. 2.13. Интерпретация способа замены плоскостей проекций

Например, на рис. 2.15, а плоскость П₄ может выступать в роли фронтальной плоскости проекций П₂. На рисунке 4.5, б, фигурными скобками отмечены расстояния от точки А до горизонтальной плоскости проекций П₁. Естественно, как видно на рис. 2.15, а, эти расстояния равны А₂А₁₂=А₄А₁₄, так как высота точки А над плоскостью П₁ проецируется как на П₂, так и на П₄ в виде одинаковых отрезков. Расстояние же до П₂ и П₄ от точки А могут быть различными, поэтому А₁А₁₂¹А₁А₁₄.

Способ замены плоскостей проекций рационально применять при решении следующих задач:

- определение натуральной величины отрезка прямой линии;

- определение натуральной величины плоской фигуры;

- определение натуральной величины двугранного угла;

- определение кратчайшего расстояния от точки до прямой линии или до плоскости;

- определение кратчайшего расстояния между двумя параллельными или двумя скрещивающимися прямыми;

Решение задач данным способом рассмотрим на нескольких примерах.

Определение длины отрезка прямой общего положения

Для определения натуральной величины (длины) отрезка АВ прямой линии необходимо сделать этот отрезок прямой линии общего положения в новой системе плоскостей проекций линией уровня. Чтобы отрезок АВ стал линией уровня относительно новой плоскости проекций, заменим плоскость П₂ на плоскость П₄, параллельную АВ, и перейдем от системы П₁/П₂ к системе П₁/П₄. Новую ось проекций X₁₄, выбираем параллельно А₁В₁ (рис. 2.16). Для построения новой проекции отрезка АВ проводим новые линии проекционной связи перпендикулярно оси Х₁₄, и отмечаем на них новые проекции А₄, В₄ точек А и В. Для этого откладываем А_х1А₄=А₂А_х, В_х1В₄=В₂В_х.

Рис. 2.14. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня.

Соединяя найденные точки А₄, В₄, получаем новую проекцию А₄В₄ отрезка АВ. Как видим, отрезок АВ в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ является линией уровня, так как А₁В₁ параллельна X₁₄, а следовательно, АВ параллельна П₄. Тогда, очевидно, что А₄В₄ является натуральной величиной отрезка АВ.

Определение натуральной величины плоской фигуры

Для определения натуральной величины плоской фигуры необходимо дополнительную плоскость построить так, чтобы она была параллельна рассматриваемой фигуре, и тогда на эту плоскость проекций плоская фигура проецируется в натуральную величину. Если в качестве плоской фигуры выбрать треугольник, тогда задача формулируется следующим образом: преобразовать плоскость треугольника общего положения в новой системе плоскостей проекций в плоскость уровня.

Одной заменой плоскостей проекций эту задачу решить невозможно, так как необходимо соблюдать условие: новая плоскость должна быть перпендикулярна незаменяемой. Поэтому решим эту задачу двумя заменами: первой заменой введем плоскость, которая перпендикулярна треугольнику АВС, второй заменой – плоскость, параллельную треугольнику АВС.

Для того, чтобы построить плоскость П₄, перпендикулярную треугольнику АВС, необходимо расположить ее так, чтобы она была перпендикулярна фронтали, либо горизонтали треугольника АВС.

Пусть П₄ перпендикулярна горизонтали, тогда новая ось Х₁₄ должна быть перпендикулярна h₁ (рис. 2.17). Построим ее на произвольном расстоянии от треугольника А₁В₁С₁. Затем из точек А₁, В₁, С₁ проведем линии связи перпендикулярно Х₁₄. На каждой из них от оси Х₁₄ отложим отрезок, равный расстоянию от фронтальной проекции соответствующей точки до оси Х₁₂. В результате получаем новую проекцию В₄А₄С₄ треугольника АВС, которая представляет собой прямую, поскольку плоскость треугольника АВС перпендикулярна плоскости П₄.

Рис. 2.15. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.

Второй заменой вводим вместо П₁ плоскость П₅, параллельную плоскости треугольника АВС. Тогда получается система плоскостей проекций П₄/П₅, ось Х₄₅ которой параллельна В₄А₄С₄. Она может быть расположена на произвольном расстоянии от В₄А₄С₄. Далее из точек В₄ А₄ С₄ проводим линии связи перпендикулярно Х₄₅, и на каждой из них от оси Х₄₅ откладываем отрезок, равный расстоянию от горизонтальной проекции соответствующей точки до оси Х₁₄. Получим точки А₅, В₅, С₅, соединив которые имеем треугольник А₅В₅С₅, который и является натуральной величиной треугольника АВС, поскольку в новой системе плоскостей проекций треугольник АВС параллелен плоскости П₅.