Интегрирование рациональных функций

Напомним основные понятия и утверждения, касающиеся рациональных функций.

Определение. Рациональной функцией переменной называется отношение двух многочленов этой переменной: где и – многочлены переменной .

Теорема. Любая рациональная функция с вещественными коэффициентами может быть представлена в виде суммы цело-рациональной функции, (то есть многочлена) и простейших дробно-рациональных функций 1-го и 2-го рода (то есть функций вида , где и – вещественные числа, – натуральное число и , , , – вещественные числа, – натуральное число, причем ).

Согласно этой теореме и свойству линейности неопределенного интеграла, вычисление неопределенного интеграла от рациональной функции с вещественными коэффициентами сводится к вычислению неопределенных интегралов от цело-рациональной функции и от простейших дробно-рациональных функций 1-го рода и 2-го рода.

а) Рассмотрим неопределенный интеграл от цело-рациональной функции

Согласно свойству линейности неопределенного интеграла, имеем:

Таким образом, неопределенный интеграл от цело-рациональной функции (многочлена степени ) есть цело-рациональная функция (многочлен степени ).

б) Рассмотрим неопределенный интеграл от простейшей дробно-рациональной функции 1-го рода – натуральное число.

Пусть

Пусть .