Спектр случайного сигнала

На рис.1 показана функция случайного сигнала и поскольку он изменяется во времени, у него должна быть частотная характеристика – спектр.

Если воспользоваться для введения спектра известным интегральным преобразованием Фурье, то спектральная плотность будет случайной величиной, что для анализа совершенно неприемлемо. Можно поступить следующим образом. Допустим, найдены спектральные плотности S1(jω), S2(jω), и т.д для ряда реализаций случайного сигнала продолжительностью Т. Этим предполагается, что сигнал стационарный, но конечный во времени. Найдем плотность распределения спектра W(w) и усредним квадрат модуля спектральной плотности M[S²(ω)]_т . Нормируем его по времени, это и будет искомая спектральная плотность:

. (1)

Размерность S(ω) - [B/Гц], то G(ω)-[B²/(Гц)], а так как B² это мощность в Ваттах, мы получили энергетический спектр, характеризующий распределение мощности сигнала

В отличие от регулярного сигнала, в котором спектр плотности характеризует распределение напряжения по частоте, для случайного сигнала спектр - характеристика распределения мощности по частоте.

Путем математических преобразований и выводов были получены выражения спектральной плотности в виде удобном для вычисления.

Путём математических преобразований и выводов были получены выражения спектральной плотности в удобном для вычислений виде, которая называется пара преобразований Винера – Хинчина или преобразование Фурье для случайного сигнала:

Свойства спектра случайного сигнала

1)

2) ,

т.к. второе слагаемое есть произведение чётной функции на нечётную функцию.

3) ,

,

где – бесконечно малая мощность случайного сигнала на частоте w.

4) Практическая ширина спектра случайного сигнала определяется его полосой частот :

5)

, -1 < g (w) < 1

АКФ качественно определяет спектр случайного сигнала, аналогично тому как временная функция в регулярных сигналах определяет спектр регулярного сигнала. Чем уже АКФ, тем шире спектр случайного сигнала.