Критерии графичности последовательности
Как отмечалось выше, графическую последовательность всегда можно считать правильной. Кроме того, в ней должны быть равные члены (если длина ее п > 1), поскольку не существует графа, степени всех вершин которого попарно различны (см. упражнение 11 в гл. I).
Однако указанные условия отнюдь не являются до-статочными для графичности последовательности. Оче-видно, например, что последовательность (32, 12) не яв-ляется графической, хотя и удовлетворяет упомянутым условиям.
Известно несколько критериев графичности последо-вательности. Одной из важнейших теорем такого рода является критерий Гавела - Хакими, к изложению ко-торого мы приступим.
Пусть d — правильная n-последовательность, п > 1. зафиксируем индекс i, 1≤ i ≤ п, и через сi обозначим (n-1)-последовательность, которая получается из последовательности d вычеркиванием i-гочлена. Тем самым
Пусть, далее, последовательность получается из последовательности сг в результате уменьшения на единицу каждого из первых di- членов:
Когда dl называется производной последовательностью.
Например, если d = (3, 3, 1, 1), то d1=(2,0,0)=d2, d3 =(2, 3,1)= d4.
Теорема 46.1 (В. Гавел, 1955 г., С. Хакими, 1962 г.). Пусть d — правильная п-последователъностъ, n > 1. Если для какого-либо индекса i, 1≤ i ≤ п, производная последовательность dl является графической, то и n— графическая последовательность. Если последовательность d графическая, то каждая последовательность
(i=1, n) является графической.
Пусть di — графическая последовательность, Н — её реализация. Добавив к графу Н новую вершину и соединив ее ребрами с d{ вершинами наибольших степе-вй, получим реализацию последовательности d. Следоательно, d — графическая последовательность.
Обратно, пусть последовательность d является графической. Согласно лемме 45.2 существует такая реализа-ия G этой последовательности, в которой некоторая вершина v степени d{ смежна с d{ вершинами, степени которых наибольшие. Очевидно, что граф G — v является реализацией последовательности di
Предыдущий критерий вместе с леммой 45.2 подсказывают алгоритм распознавания графичности правильной последовательности и построения одной из ее реализаций. Назовем этот алгоритм l-процедурой. Пусть d — равильная n - последовательность, V — n-элементное множество вершин (будущего графа), каждому элементу v которого приписано неотрицательное целое число d (v)—метка, причем d{v)<n. Пусть, далее, S(v)—подмножество V, составленное из d(v) отличных от вершины v вершин с максимальными .метками (S(v) определено не однозначно). Шаг l-процедуры заключается в следующем:
1) фиксировать произвольную вершину v с положительной меткой (далее эта вершина называется ведущей);
2) фиксировать одно из подмножеств S(v);
3) вершину v соединить ребром с каждой вершиной из S(v);
4) изменить метки вершины v и каждой из вершин и, входящих в S(v), положив d(v):=0, d(u):= d(u)— 1.
Если в результате применения шага l-процедуры какая-либо из меток становится отрицательной, то говорят, что этот шаг проваливается.
l-процедура применяется к правильной n-последовательности d и заключается в последовательном выполнении шагов. Берем V = {1, 2, ..., п} и первоначально
Рис. 46.1
полагаем d(i) = du Из леммы 45.2 и критерия 46.1 вытекает, что возможно одно из двух: либо мы приходим к нулевой последовательности меток и одновременно получаем реализацию последовательности d, либо очередной шаг проваливается, т. е. последовательность d не является графической.
На рис. 46.1 Z-процедура демонстрируется на примере последовательности (З2, 23). Каждый столбец на этом рисунке соответствует одному шагу /-процедуры.
Отметим еще один критерий графичности последовательности.
Теорема 46.2 (П. Эрдёш, Т. Галлаи, 1960 г.). Правильная п-последователъностъ d является графической тогда и только тогда, когда для каждого к = 1,п-1 верно
неравенство
Необходимость неравенства (1) проверяется легко.
Пусть G — реализация последовательности d,
Разобьем сумму Sk на две части: Sk = A + В, где А — сумма степеней вершин порожденного подграфа G(l, 2, ..., k), а В — вклад, вносимый в сумму Sh ребрами вида ij, где i ≤ k, j > k:, Очевидно, что
откуда и вытекает неравенство (1).
Приведем доказательство достаточности условий теоремы, принадлежащее С. А. Чоудаму (1986 г.). Пусть d — правильная n-последовательность, причем неравенство (1) верно для каждого k = 1, п— 1. Если di = r (i—1, п), то хотя бы одно из чисел r и n четное, поскольку сумма членов последовательности d — четное число. Кроме того, r≤п—1. При этих условиях существует п -вершинный регулярный граф степени r (утверждение 7.1). Стало быть, d — графическая последовательность.
Пусть теперь среди членов di последовательности d есть различные. Не ограничивая общности, рассмотрим случай, когда dn ≠ 0. Воспользуемся индукцией по сумме членов последовательности d. При Σ = 2 условиям теоремы удовлетворяет только одна n-последовательность (1, 1, 0, ..., 0); эта последовательность, очевидно, графическая. Возьмем теперь Σ > 2 и предположим, что условия теоремы достаточны для графичности любой правильной n-последовательности с меньшей чем Σ суммой членов. Пусть t = min{i: di> di+1). Тогда 1 ≤ t ≤n - 1. Положим
и докажем, что последовательность с также удовлетворяет условиям теоремы. Пусть
Заметим, что S'k= Sk (k —1,t — l). Нужно доказать неравенства
Это совсем просто при k ≥ t. Имеем
и неравенство (2) верно.
Пусть теперь к ≤ t— 1. В этой ситуации
Если, к тому же, dh<k— 1, то из равенств (3) непосредственно вытекает
т. е. неравенство (2) верно.
Далее отдельно рассмотрим две возможности: 1) dk = k, 2) dk ≥ k + l.
1) Заметим, что в рассматриваемом случае
Это очевидно при k + 2 < n— 1. Если же k + 2 = п, то t = n— 1 и, следовательно d = ((n - 2)n-1, dn). Далее, имеем Σ = (п — 2) (n — 1) + dn. Так как Σ — четное число и dn > 0, то dn ≥ 2, откуда и следует неравенство (4). Согласно (3) и (4)
Для i > k имеем
поэтому из (5) следует, что
т. е. неравенство (2) верно.
2) Если dn ≥ k + 1, то
Поэтому
и неравенство (2) верно.
Пусть теперь dn < k + 1. В этом случае верно неравенство
Действительно, если, напротив, (6) неверно, то
Положив r = min (i: dt+i+1 < k) и учитывая (3), получим
Последнее противоречит тому, что последовательность d удовлетворяет неравенствам (1). Неравенство (6) доказано. С учетом (6) и (3) получаем
В рассматриваемом случае t ≥ k + 1, dt = dk ≥ k + 1, min {k , dt}=min {k, ct}=k, min {k, cn} = cn = dn — 1, min { k , dn} = dn , поэтому из (7) вытекает
Тем самым доказано, что в любой ситуации последовательность с удовлетворяет условиям теоремы. Так как сумма членов этой последовательности равна Σ — 2, то она графическая по индуктивному предположению. Возьмем произвольную реализацию G последовательности с. Пусть а, b €VG, deg a = ci, deg b = сп. Если вершины а и b не смежны, то граф G + аb является реализацией последовательности d и, следовательно, d — графическая последовательность.
Пусть аb € EG. Так как deg а — dt — 1 ≤ п — 2, то существует вершина е € VG, не смежная с а. Но deg e ≥ deg b , поэтому существует вершина f € VG, смежная с е и не смежная с b. Итак, граф G допускает переключение s = (ab, ef). Граф sG = G — ab — ef + ae + bf также служит реализацией последовательности с, причем в нем вершины а и b не смежны. Но тогда, как доказано выше, последовательность d является графической.
При тестировании последовательности с помощью критерия Эрдёша — Галлаи нет необходимости проверять все п— 1 неравенств (1). Пусть d — правильная n-последовательность, k(d)= max { i : di ≥ i). Тогда верно следующее
Утверждение 46.3. Если последовательность d удовлетворяет каждому из неравенств (1) при k = 1, k(d), то она удовлетворяет и каждому из оставшихся неравенств (1).
Доказательство опускается.
Дата добавления: 2019-07-26; просмотров: 713;