Построение поля комплексных чисел

Вопрос расширения числовой области неоднократно возникал перед математиками прошлых веков в связи с возникающими новыми задачами. Так было при переходе к рациональным числам от множества натуральных, от рациональных к вещественным и, наконец, от вещественных к комплексным. Дальнейшее расширение оказалось невозможным при сохранении естественных свойств предыдущей числовой области. В случае с комплексными числами вопрос расширения кратко выглядит так: требуется иметь в своем распоряжении возможность решать уравнение

,

которое в вещественной области неразрешимо. С такой задачей столкнулись в позднем средневековье при решении алгебраических уравнений. История эта достаточно интересна и содержит определенную интригу. Признание комплексных чисел затянулось на века, но в данном случае речь пойдет об утилитарной проблеме построения множества комплексных чисел , для которого выделим следующие требования:

1. является полем;

2. Поле является подполем поля ;

3. Уравнение разрешимо в ;

4. минимально по включению.

Такова программа построения новой числовой области.

Определение 2.1. Множеством комплексных чисел называется множество упорядоченных пар вещественных чисел при условии выполнения следующих требований:

1. ;

2. ;

3. .

Таким образом, утверждается критерий равенства пар, а также задаются правила сложения и умножения элементов . Покажем, что указанное множество удовлетворяет требованиям 1 – 4 .

Теорема 2.1. – поле.

Доказательство. Во-первых, отметим, что – абелева группа. Операция сложения очевидно алгебраична. Ассоциативность и коммутативность сложения легко следуют из ассоциативности и коммутативности сложения вещественных чисел. Нейтральным элементом, или нулем, является пара , а противоположной парой к любой данной будет, очевидно, пара .

Во-вторых, утверждаем, что тоже абелева группа. Покажем сначала, что операция умножения на множестве алгебраична. Действительно, пусть и , при этом . Пользуясь условием равенства двух комплексных чисел, находим, что

Рассмотрим несколько вариантов. Пусть и . Тогда и , ибо в противном случае , что невозможно. Из первого уравнения выразим и подставим во второе. Получим эквивалентную систему:

Откуда имеем , что невозможно. Если теперь и , то опять , а иначе . Теперь, выражая из второго уравнения и подставляя в первое, имеем

Это влечет , что тоже невозможно. Аналогично рассматриваются случаи с и , а также и . Таким образом, считаем, что алгебраичность операции умножения пар установлена.

Докажем ассоциативность умножения.

должно быть .

Вычислим отдельно левую и правую части соотношения.

.

.

Как видим, левая и правая части совпадают.

Похожим образом доказывается коммутативность умножения.

Найдем нейтральный элемент. Для этого решим уравнение

.

Уравнение приводит к системе

Пусть и , тогда умножая первое уравнение на , а второе на и складывая почленно, получим, что , откуда и тогда . Легко видеть, что при и , а также при и получаем тот же ответ. Так что единица установлена, это пара .

Осталось указать для любой пары такую пару , что . Это уравнение приводит к системе

Решая эту систему, вновь предположим, что и . Тогда умножая первое уравнение на , а второе на и складывая почленно, получаем, что , откуда . А отсюда находим, что . Итак, .

Если и или и , то справедливой остается полученная формула, доказательство чего оставляем студентам. Таким образом, найден обратный элемент к паре , именно: . Значит, наличие мультипликативной группы установлено. Проверку выполнимости дистрибутивного закона также оставляем студентам в качестве упражнения. Тогда – поле, и теорема доказана.

Теорема 2.2. подполе в .

Доказательство. При доказательстве этого факта воспользуемся приемом, достаточно широко используемым в алгебре. Зададим множество

.

Покажем, что это множество есть подполе в . Действительно, пары вида образуют аддитивную абелеву группу относительно сложения пар. Ибо сложение алгебраично: для любых , + . Пара и очевидно, что противоположные пары вида тоже принадлежат .

Операция умножения на также алгебраична, так как для ,

.

Единица . И, наконец, для каждой пары существует пара такая, что . Проверять выполнимость ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, очевидно, не нужно. Поэтому можно утверждать, что множество относительно сложения и умножения пар представляет собой поле, подполе поля .

Зададим отображение по правилу . Ясно, что такое отображение является биекцией. Но кроме этого, оно согласовано с операциями, именно:

и

.

Значит, отображение является изоморфизмом. Таким образом, констатируется тот факт, что по своим свойствам операций поля и неразличимы. Тогда с помощью модели можно «вложить» поле в поле . Говорят, что поле вложено в поле с точностью до изоморфизма. Теорема доказана.

Теорема 2.3. Уравнение разрешимо в поле .

Доказательство. Перепишем это уравнение как уравнение над . Имеем

.

Предположим, что искомое решение представляет собой пару . Тогда, выполняя операции над парами, находим, что

что приводит к системе:

Эта система должна быть решена как система над полем вещественных чисел. Поэтому из нижнего уравнения заведомо , ибо в таком случае приходим к той задаче, с которой начинали. Пусть тогда . Тогда первое уравнение дает, что , т.е. , откуда получаем два комплексных решения: и . Эти корни принято обозначать буквами и . Иногда их называют мнимыми единицами. Это название носит чисто исторический характер, идущий от эпохи признания-непризнания комплексных чисел. Теорема доказана.

Пусть теперь задано произвольное комплексное число . Запишем его несколько иначе, используя найденные в предыдущей теореме квадратные корни из и изоморфизм теоремы 2.2. Имеем

.

Здесь производится отождествление вещественных чисел и с парами и соответственно при помощи изоморфизма . Надо только помнить, что знаки «+» и « . » означают соответственно операции сложения и умножения пар.

Определение 2.2. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Определение 2.3. Если комплексное число задано в алгебраической форме , то число называется вещественной (действительной) частью и обозначается , а число называется мнимой частью и обозначается .

Отсюда понятно, что можно записать . Сами названия носят тоже исключительно исторический характер, ибо мнимая часть не большая абстракция, нежели вещественная. Подчеркнем, что мнимая часть комплексного числа есть число вещественное. Теперь легко видеть, что если , то . Комплексные числа с равной нулю вещественной частью часто называют чисто мнимыми и обозначают .

Теорема 2.4. Поле комплексных чисел минимально по включению.

Доказательство. Пусть поле содержит подполе , которое в свою очередь включает поле , т.е.,

,

и в разрешимо уравнение с корнями . Тогда в этом новом поле должны содержаться элементы . А тогда сумма . Но такими элементами исчерпывается поле . Следовательно, . Теорема доказана.

Опишем операции над комплексными числами в алгебраической форме.

1. ;

2. ;

3. ;

4. для .

Эти формулы позволяют утверждать, что сложение комплексных чисел есть приведение подобных членов для двух двучленов, умножение комплексных чисел есть простое перемножение таких двучленов с одной особенностью, что . Наконец, деление есть ни что иное, как избавление от числа в знаменателе. Последнюю формулу легко получить, умножая числитель и знаменатель указанной дроби на число . Отсюда, кстати, следует, что нет нужды в специальном заучивании таких формул.

Комплексное сопряжение

Определение 2.4. Пусть , тогда число называется сопряженным с числом (точнее, комплексно сопряженным).

Рассмотрим свойства комплексно сопряженных чисел. Здесь .

1. ;

2. ;

3. ;

4. , ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

Свойства 2 и 3 допускают естественные обобщения.

9. для ;

10. для .

Докажем свойство 9 в предположении, свойство 2 доказано. Это будет база индукции. Предполагаем, что свойство доказано для всех . Докажем, что оно справедливо для . Имеем

.

Доказательство десятого свойства повторяет доказательство девятого, а справедливость остальных проверяется тривиально. Теперь можно сказать, что при операции деления двух комплексных чисел числитель и знаменатель дроби умножаются на число сопряженное со знаменателем.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Зададим на плоскости декартову систему координат. Саму плоскость назовем комплексной плоскостью, ось абсцисс ОХ назовем вещественной осью, а ось ординат – мнимой. Зафиксируем комплексное число и в данной системе координат представим точку . Так как каждая точка плоскости имеет вполне определенные координаты в указанной системе, выражающиеся упорядоченной парой вещественных чисел, то тем самым можно поставить в соответствие эту точку числу . С другой стороны, комплексное число, как упорядоченная пара вещественных чисел, может однозначно изображаться точкой комплексной плоскости в данной системе координат. Следовательно, легко установить биективное отображение множества комплексных чисел на множество точек комплексной плоскости, выражающееся равенством:

, или .

Это отображение задает т.н., точечную геометрическую интерпретацию комплексных чисел.

Рассмотрим теперь множество векторов- направленных отрезков комплексной плоскости, начала которых закреплены в точке О, начале координат. Конец каждого такого вектора лежит в некоторой точке той же плоскости, и эта точка однозначно определяет положение вектора. Пусть конец вектора лежит в точке , тогда можно установит биективное отображение множества комплексных чисел на множество указанных векторов по правилу: любое комплексное число отображается в вектор, конец которого имеет координаты . Это отображение задает векторную геометрическую интерпретацию комплексных чисел. В зависимости от характера возникающих задач пользуются той или иной интерпретацией. В любом случае, на вещественной оси отмечается вещественная часть комплексного числа, а на мнимой – мнимая. Удобство такого представления чисел будет показано ниже.

Определение 2.5. Модулем комплексного числа (обозначение: )называется арифметический корень квадратный из суммы квадратов его вещественной и мнимой части, т.е.,

,

или

.

Как легко видеть, и .Кроме того, . Геометрически модуль можно интерпретировать как длину вектора, изображающего данное число на комплексной плоскости в векторной интерпретации.

Определение 2.6. Аргументом комплексного числа называется величина угла, который образует вектор, изображающий это число на комплексной плоскости, с вещественной осью. Аргумент считается положительным, если отсчитывается от оси против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Заметим, прежде всего, что число 0 аргумента не имеет, ибо не определено направление соответствующего вектора. Кроме того, понятно, что аргумент определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Поэтому часто используются такие обозначения: для (иногда, ), , . В последнем случае речь идет о некотором аргументе, представленном в общем виде.

Пример 2.1. . Тогда

между точками (числами и ) на комплексной плоскости.

Таким образом, модуль разности всегда можно интерпретировать как расстояние.

Пример 2.2. Нарисовать на комплексной плоскости область, удовлетворяющую следующему условию: .

Положим . Тогда . Таким образом, расстояние от начала координат до любой точки описываемой области не должно превосходить 2. Тогда имеем:

Пример 2.3. Нарисовать на комплексной плоскости область, удовлетворяющую следующему условию: . Получаем бесконечную угловую область:

Введем теперь еще одно представление комплексных чисел. Пусть , и . Рассмотрим описание числа в векторной форме.

Легко видеть, что можно записать следующие выражения: и .

Иначе, .

Определение 2.6. Пусть и . Тогда представление числа в виде называется тригонометрической формой этого комплексного числа.

Замечание. Тригонометрической формой называется только указанная запись. Любое другое представление числа , содержащее значения тригонометрических функций, таковым не является. Обычно обозначают и тогда

.

Пример 2.4. Запишем несколько чисел в тригонометрической форме:

,

,

,

.

Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Если сложение и вычитание производятся так же, как и в алгебраической форме, то умножение и деление гораздо проще. Но предварительно надо отметить условие равенства. Пусть заданы два числа и . Тогда

.

Лемма 2.1. Если и , то

.

Доказательство. Перемножая указанные два числа обычным образом (как в алгебраической форме), имеем:

.

Теперь группируя слагаемые и применяя тригонометрические формулы для синуса и косинуса суммы аргументов, получаем требуемое. Лемма доказана.

Следствие. ,

.

Лемма 2.2. Если и , то

.

Доказательство.

.

Здесь воспользовались результатом предыдущей леммы. Лемма доказана.

Следствие. ,

.

Из формулы умножения легко получается формула, описывающая возведение комплексного числа в степень.

Теорема 2.5 (формула Муавра).

Пусть , . Тогда имеет место формула

.

Доказательство. Пусть сначала . Проведем доказательство индукцией по . Содержательный смысл индуктивного рассуждения начинается с . Будем считать это базой индукции. Действительно,

.

Предположим, что теорема справедлива для всех натуральных и докажем справедливость формулы для . Имеем

.

Так как для формула тривиальна, а для естественно считать , или

,

то теорема справедлива для всех неотрицательных целых показателей. Докажем теперь формулу для отрицательных показателей. Пусть вновь , тогда

.

Таким образом, теорема справедлива для любого целого .

Следствие. ,

.

Как видим, в качестве следствий получили равенства для модулей произведения и частного двух комплексных чисел. Для суммы и разности удается доказать лишь неравенство.

Теорема 2.6.

Пусть . Тогда имеет место следующее неравенство:

.

Доказательство. Если какое-либо из чисел или равно нулю, то неравенство становится тривиальным. Поэтому считаем, что и . Значит, эти числа можно представить в тригонометрической форме. Пусть

и .

Докажем правую часть неравенства. Имеем

.

Здесь учли, что .

Левая часть неравенства доказывается похожим образом, что оставляем студентам.

Следствие. Равенство в указанном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда .

Извлечение корня из комплексного числа.

Определение 2.7. Пусть и , тогда корнем степени из комплексного числа называется комплексное число , удовлетворяющее условию .

Сразу заметим, что если , то очевидно, что . Поэтому будем считать, что . Покажем, что корни степени из числа существуют. Представим в тригонометрической форме: и сначала предположим, что искомые корни действительно существуют. Пусть . Тогда по формуле Муавра имеем

.

На основе равенства двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, получаем:

.

Отсюда сразу находим, что

.

Тогда можно сконструировать число , точнее, . А именно

.

Оказалось, что корень -ой степени зависит от параметра . Уясним точнее эту зависимость.

Лемма 2.3. .

Доказательство.

.

Построим множество . В силу предшествовавшей леммы элементы этого множества попарно различны. С другой стороны, для любого имеем:

,

откуда немедленно находим, что . Отсюда получаем теорему.

Теорема 2.7.

Пусть , , тогда, если , то имеется единственное значение корня -ой степени из этого числа ; если и , то имеется ровно значений корня -ой степени из , которые можно получить из следующей формулы:

, где .

Следствие. Геометрически (в точечной интерпретации) значения корня -ой степени из числа можно представить точками, лежащими на окружности радиуса с центром в начале координат и делящими указанную окружность на равных частей.

Пример 2.5. Найдем значения корня четвертой степени из числа .

Запишем число в тригонометрической форме. Имеем

.

Тогда значениями коня будут

,

,

,

.

Применим формулу извлечения корня к частному случаю , т.е., рассмотрим вопрос о корнях из единицы. С учетом сложившихся обозначений получим:

, ,

так как . Опираясь на формулу Муавра легко заметить, что , т.е., можно получить все значения корня -ой степени, располагая одним числом . Это наблюдение приводит к следующему результату.

Теорема 2.8.

Пусть – множество значений корня -ой степени из единицы. Тогда есть мультипликативная циклическая группа порядка .

Доказательство. Во-первых, для любых так как .

Число 1 естественно принадлежит . Наконец, для любого , , найдется , что . Цикличность же усматривается наличием числа , что завершает доказательство.

Пример 2.6. Пусть , тогда корнями из 1 третьей степени будут

,

,

.

Пример 2.7. Пусть , тогда корнями из 1 четвертой степени будут

,

,

,

.

Пример 2.8. Вычислить значение .

Разделив число 1283 на 4 получим остаток 3. Тогда

.

Определение 2.8. Образующий элемент циклической группы называется первообразным корнем степени из единицы.

Как уже было показано, первообразным корнем всегда будет число , но, вообще говоря, существуют и другие первообразные корни -ой степени (для ). Опишем это множество, доказав критерии первообразности. Эти теоремы можно перенести на общий случай циклической группы конечного порядка, сделав соответствующие изменения в терминах. Частично это будет получено в главе XIV.

Теорема 2.9 (первый критерий первообразности).

Корень -ой степени из единицы является первообразным корнем -ой степени из единицы тогда и только тогда, когда он не является корнем из единицы никакой степени меньшей .

Доказательство. Необходимость. Докажем результат рассуждением от противного. Пусть будет первообразным корнем из единицы степени и существует такое, что . Тогда в ряде числа начиная с и до повторяют начальные значения, что противоречит тому, что образующий элемент группы -го порядка (см. т.1.6). Значит, такого числа не существует.

Достаточность. Пусть теперь корень не является корнем из единицы никакой степени, меньшей . Тогда в ряде все числа попарно различны, ибо если это не так, то найдутся , откуда для, например, и при этом . Таким образом, находится число такое, что и , что противоречит условию. Теорема доказана.

Этот критерий не очень удобен для приложений. Докажем другую теорему, но предварительно потребуется лемма.

Лемма 2.4. Если есть первообразный корень степени из единицы, то тогда и только тогда, когда делится на .

Доказательство. Необходимость. Пусть – первообразный корень степени из единицы и . Разделим на с остатком: , где . Тогда

.

Отсюда сразу следует, что по теореме 2.9.

Достаточность. Практически очевидна.

Теорема 2.10 (второй критерий первообразности).

Пусть есть первообразный корень степени из единицы, тогда , , является первообразным корнем степени из единицы тогда и только тогда, когда числа и взаимно просты.

Доказательство. Необходимость. Пусть будет первообразным корнем степени из единицы. Обозначим через наибольший общий делитель чисел и . Это значит, что и , при этом . Тогда имеем

.

Если теперь , т.е., , то получаем противоречие с теоремой 2.9. Значит, , что и требовалось.

Достаточность. Пусть . Рассуждаем от противного. Если не является первообразным корнем степени из единицы, то по теореме 2.9 найдется такое , что и . Тогда и по лемме 2.4 получаем, что . Но и взаимно просты, поэтому должно быть , что невозможно, ибо . Значит, на самом деле является первообразным корнем степени из единицы. Теорема доказана.

Пример 2.9. Пусть требуется найти первообразные корни степени 12 из единицы. Тогда используя равенство , получим, что, так как числа 1, 5, 7, 11 взаимно просты с числом 12, первообразными корнями двенадцатой степени из единицы наряду с будут также и . В то же время ни одно из оставшихся восьми чисел не может быть первообразным корнем степени 12 из единицы. В тригонометрической форме искомые

можно описать как числа вида

для .

Теорема 2.11. Все значений корня -ой степени из комплексного числа можно получить умножением какого-либо одного значения на все значения корня -ой степени из единицы.

Доказательство. Пусть . Рассмотрим множество .

Очевидно, что числа множества оказываются попарно различными и при этом . Теорема доказана.

Введем еще один вариант записи комплексного числа.

Определение 2.9. Пусть задано комплексное число