Предел числовой последовательности
Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие действительное (комплексное) число
. Последовательность обозначают символом
(
). Можно сказать, что последовательность является функцией
(
). Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух последовательностей. В этом разделе мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных чисел.
Число называется пределом последовательности
если для любого
найдётся номер
такой, что для любого
выполняется неравенство
. При этом пишут
или
и говорят, что последовательность
сходится к числу
.
Если ,
, то: 1)
;
2) ; 3)
;
4) при (
).
Пример 1. Дана последовательность . Найдите: а)
; б)
такое, что для всех
выполняется неравенство
.
Решение. а) Имеем
.
б) Найдём требуемое . Из проделанных выше выкладок следует, что
должно быть подобрано так, чтобы для всех
или
;
отсюда следует ,
. Следовательно, можно взять
.
Последовательность называется бесконечно малой, если
.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого
найдётся номер n0 такой, что для любого
справедливо неравенство
; записывается это так:
. Если при этом
, начиная с некоторого номера, сохраняет положительный (отрицательный) знак, то пишут
(
) .
Важную роль играет последовательность Доказывается, что эта последовательность сходится, и ее предел обозначается буквой е; е
2,718.
2. Элементарные функции
К элементарным функциям относятся:
1) простейшие элементарные функции: постоянная с, степенная , показательная
, логарифмическая
, тригонометрическая
, обратные тригонометрические
;
2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция).
Пример 2. В класс элементарных функций попадают:
а) многочлен; б) рациональная дробь (отношение двух многочленов); в) , так как
; г)
; д)
, так как
и множество других.
3. Предел функции
Пусть функция определена во всех точках интервала
, за исключением, быть может, точки
. Число А называется пределом функции
в точке
, если для любого
существует число
такое, что для любого x, удовлетворяющего неравенству
, выполняется неравенство
, при этом пишут
. Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: число A называется пределом функции
в точке x0, если для любой последовательности чисел
, сходящейся к
,
.
Если определена в интервале
, то число A называется пределом
при
, если для любого
существует число
, такое, что неравенство
влечет за собой неравенство
. При этом пишут
или
. Аналогично определяется
.
Число A называют пределом функции в точке
слева (справа) и пишут
или
, или
, если для любого
найдется
такое, что для всех
(для всех
) справедливо неравенство
. Число A является пределом
в точке
, если совпадают пределы
в этой точке слева и справа:
.
Если функция определена в интервале
(в интервале
) и для любого M существует
такое, что для любого
(для любого
справедливо неравенство
, то говорят, что левый (правый) предел функции
в точке
равен
, и при этом пишут
или
или
Аналогично определяются
и
.
Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если ,
, то
1)
2)
3)
4)
(последнее при ). То же верно для односторонних пределов.
Пример 3. Доказать, что . По данному
найти
такое, что из неравенства
следует
.
Решение. Пусть произвольно. Неравенство
равносильно неравенству
. Поэтому, если по данному
взять
, то из неравенства
будет следовать неравенство
а это и означает, что
. В частности, для
достаточно взять
.
Пример 4.Найти пределы:
а) , б)
, в)
.
Решение. а)
;
б)
в)
Пример 5. Вычислить:
а) б)
Решение.а)При подстановке в числитель и знаменатель они обращаются в нуль.
Следовательно, мы имеем неопределенность вида
Разложим числитель и знаменатель на множители и перейдем к пределу
б)В этом примере имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на произведение
, получим
.
Пример 6. .
Решение.Имеем неопределенность вида .
.
Имеют место равенства
,
,
называемые первым и вторым замечательными пределами.
Пример 7.Найти:
а) ; б)
; в)
.
Решение.а) Применяем первый замечательный предел:
.
.
б)
.
в)
=
.
Пример 8.Найти:
а) ; б)
.
Решение.
а)
.
В основании прибавим и вычтем единицу
.
Тогда
.
Вычисляем
=
.
Тогда
б)
.
Тогда
.
в)
.
4. Непрерывность функции
Функция , определённая в некоторой окрестности
точки
, называется непрерывной в точке
, если
.
Другими словами, непрерывна в точке x0, если выполнены два условия:
1) определена в некотором интервале, содержащем точку
,
2) бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции
.
Функция непрерывна в точке
в том и только том случае, если
.
Если функция непрерывна в каждой точке числового множества X, то говорят, что
непрерывна на множестве X .
Сумма, произведение, частное (при неравенстве нулю знаменателя), суперпозиция непрерывных функций также являются непрерывными функциями.
Функция терпит разрыв в точке
в одном из следующих случаев:
1) , но
либо
не определено (рис.1); в этом случае говорят, что
– точка устранимого разрыва;
2) – конечные, но не равные между собой пределы; такая точка называется точкой разрыва первого рода (говорят, что
терпит в точке
скачок) (рис.2);
3) по крайней мере одного из односторонних пределов в точке
не существует (т.е. не существует конечного предела); в таком случае говорят, что x0 – точка разрыва второго рода (рис.3).
![]() | ![]() |
![]() |
Все элементарные функции непрерывны в области их определения.
Пример 9.Исследовать на непрерывность функцию
и построить её график.
Решение. Аналитические выражения ,
,
, входящие в определение
, задают непрерывные элементарные функции.
Поэтому непрерывна всюду, кроме, может быть, точек «склейки»
и
. Исследуем поведение функции в окрестности этих точек.
а) .
;
;
.
Так как , то функция непрерывна в точке x = –1.
б) .
;
;
.
Так как , то
в точке
терпит разрыв первого рода.
Сделаем чертёж (рис.4).
Рис. 4
Пример 10.Исследовать на непрерывность функцию . Сделать эскиз графика.
Решение. Функция является элементарной, поэтому непрерывна во всех точках, кроме точек ,
,
, в которых она не определена. Найдём характер разрыва в этих точках.
а) .
;
(+0 означает, что стремится к 0, оставаясь больше 0).
Так как ,
, то
в точке
терпит разрыв второго рода.
б) .
Видим, что , но
не определена, следовательно,
является точкой устранимого разрыва.
в) .
;
Так как ,
, то
является точкой разрыва второго рода.
Для построения эскиза графика исследуем поведение функции при
и
:
,
(выражение (1+0) означает, что стремится к 1, оставаясь
больше 1).
Опираясь на полученные данные, сделаем эскиз графика
(рис. 5).
Рис. 5
5. Бесконечно малые величины и их сравнение
Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при
, если
. Пусть
,
– б.м.в. при
и
; тогда
а) если , то говорят, что
и
являются б.м.в. одного порядка;
при С = 1 и
называются эквивалентными б.м.в. и при этом пишут
~
;
б) если С = 0, то называется б.м.в. более высокого порядка чем
, и пишут
.
При справедливы следующие соотношения, вытекающие из первого и второго замечательных пределов и непрерывности элементарных функций:
,
,
;
,
.
Эти соотношения используют для раскрытия неопределённостей.
Пример 11.Найти
.
Решение.Имеем
,
,
.
Учитывая это, получаем
=
.
Пример 12. Найти
.
Решение.Имеем
=
=
=
= =
=
= =
=
=
=
.
Пример 13. Найти предел
.
Решение.Имеем ~
=
,
~
. Отсюда находим
=
= =
=
= =
=
= .
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Выбор аппаратуры управления и защиты электрооборудования | | | общих правил этикета. |
Дата добавления: 2019-02-07; просмотров: 500;