Предел числовой последовательности

Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие действительное (комплексное) число . Последовательность обозначают символом ( ). Можно сказать, что последовательность является функцией ( ). Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух последовательностей. В этом разделе мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных чисел.

Число называется пределом последовательности если для любого найдётся номер такой, что для любого выполняется неравенство . При этом пишут или и говорят, что последовательность сходится к числу .

Если , , то: 1) ;

2) ; 3) ;

4) при ( ).

Пример 1. Дана последовательность . Найдите: а) ; б) такое, что для всех выполняется неравенство .

Решение. а) Имеем

.

б) Найдём требуемое . Из проделанных выше выкладок следует, что должно быть подобрано так, чтобы для всех

или ;

отсюда следует , . Следовательно, можно взять .

Последовательность называется бесконечно малой, если .

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдётся номер n₀ такой, что для любого справедливо неравенство ; записывается это так: . Если при этом , начиная с некоторого номера, сохраняет положительный (отрицательный) знак, то пишут ( ) .

Важную роль играет последовательность Доказывается, что эта последовательность сходится, и ее предел обозначается буквой е; е 2,718.

2. Элементарные функции

К элементарным функциям относятся:

1) простейшие элементарные функции: постоянная с, степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрическая , обратные тригонометрические ;

2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция).

Пример 2. В класс элементарных функций попадают:

а) многочлен; б) рациональная дробь (отношение двух многочленов); в) , так как ; г) ; д) , так как и множество других.

3. Предел функции

Пусть функция определена во всех точках интервала , за исключением, быть может, точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любого существует число такое, что для любого x, удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство , при этом пишут . Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: число A называется пределом функции в точке x₀, если для любой последовательности чисел , сходящейся к , .

Если определена в интервале , то число A называется пределом при , если для любого существует число , такое, что неравенство влечет за собой неравенство . При этом пишут или . Аналогично определяется .

Число A называют пределом функции в точке слева (справа) и пишут или , или , если для любого найдется такое, что для всех (для всех ) справедливо неравенство . Число A является пределом в точке , если совпадают пределы в этой точке слева и справа: .

Если функция определена в интервале (в интервале ) и для любого M существует такое, что для любого (для любого справедливо неравенство , то говорят, что левый (правый) предел функции в точке равен , и при этом пишут или или Аналогично определяются и .

Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если , , то

1)

2)

3)

4)

(последнее при ). То же верно для односторонних пределов.

Пример 3. Доказать, что . По данному найти такое, что из неравенства следует .

Решение. Пусть произвольно. Неравенство

равносильно неравенству . Поэтому, если по данному взять , то из неравенства будет следовать неравенство а это и означает, что . В частности, для достаточно взять .

Пример 4.Найти пределы:

а) , б) , в) .

Решение. а)

;

б)

в)

Пример 5. Вычислить:

а) б)

Решение.а)При подстановке в числитель и знаменатель они обращаются в нуль.

Следовательно, мы имеем неопределенность вида

Разложим числитель и знаменатель на множители и перейдем к пределу

б)В этом примере имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на произведение , получим

.

Пример 6. .

Решение.Имеем неопределенность вида .

.

Имеют место равенства

, ,

называемые первым и вторым замечательными пределами.

Пример 7.Найти:

а) ; б) ; в) .

Решение.а) Применяем первый замечательный предел:

.

.

б)

.

в)

=

.

Пример 8.Найти:

а) ; б) .

Решение.

а) .

В основании прибавим и вычтем единицу

.

Тогда

.

Вычисляем =

.

Тогда

б)

.

Тогда

.

в) .

4. Непрерывность функции

Функция , определённая в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если .

Другими словами, непрерывна в точке x₀, если выполнены два условия:

1) определена в некотором интервале, содержащем точку ,

2) бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции .

Функция непрерывна в точке в том и только том случае, если .

Если функция непрерывна в каждой точке числового множества X, то говорят, что непрерывна на множестве X .

Сумма, произведение, частное (при неравенстве нулю знаменателя), суперпозиция непрерывных функций также являются непрерывными функциями.

Функция терпит разрыв в точке в одном из следующих случаев:

1) , но либо не определено (рис.1); в этом случае говорят, что – точка устранимого разрыва;

2) – конечные, но не равные между собой пределы; такая точка называется точкой разрыва первого рода (говорят, что терпит в точке скачок) (рис.2);

3) по крайней мере одного из односторонних пределов в точке не существует (т.е. не существует конечного предела); в таком случае говорят, что x₀ – точка разрыва второго рода (рис.3).

Рис. 1	Рис. 2
Рис. 3

Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Пример 9.Исследовать на непрерывность функцию

и построить её график.

Решение. Аналитические выражения , , , входящие в определение , задают непрерывные элементарные функции.

Поэтому непрерывна всюду, кроме, может быть, точек «склейки» и . Исследуем поведение функции в окрестности этих точек.

а) .

;

;

.

Так как , то функция непрерывна в точке x = –1.

б) .

;

;

.

Так как , то в точке терпит разрыв первого рода.

Сделаем чертёж (рис.4).

Рис. 4

Пример 10.Исследовать на непрерывность функцию . Сделать эскиз графика.

Решение. Функция является элементарной, поэтому непрерывна во всех точках, кроме точек , , , в которых она не определена. Найдём характер разрыва в этих точках.

а) .

;

(+0 означает, что стремится к 0, оставаясь больше 0).

Так как , , то в точке терпит разрыв второго рода.

б) .

Видим, что , но не определена, следовательно, является точкой устранимого разрыва.

в) .

;

Так как , , то является точкой разрыва второго рода.

Для построения эскиза графика исследуем поведение функции при

и :

,

(выражение (1+0) означает, что стремится к 1, оставаясь

больше 1).

Опираясь на полученные данные, сделаем эскиз графика

(рис. 5).

Рис. 5

5. Бесконечно малые величины и их сравнение

Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при , если . Пусть , – б.м.в. при и ; тогда

а) если , то говорят, что и являются б.м.в. одного порядка;

при С = 1 и называются эквивалентными б.м.в. и при этом пишут ~ ;

б) если С = 0, то называется б.м.в. более высокого порядка чем , и пишут .

При справедливы следующие соотношения, вытекающие из первого и второго замечательных пределов и непрерывности элементарных функций:

, , ;

, .

Эти соотношения используют для раскрытия неопределённостей.

Пример 11.Найти

.

Решение.Имеем

,

,

.

Учитывая это, получаем

= .

Пример 12. Найти

.

Решение.Имеем

= = =

= = =

= = = = = .

Пример 13. Найти предел

.

Решение.Имеем ~ = ,

~ . Отсюда находим =

= = =

= = =

= .