Начальное и граничные условия, их физическое толкование. Постановка задач

Частные случаи уравнения теплопроводности

1. Распространение тепла без тепловыделения. Если внутри рассматриваемой области нет источников тепла, т.е. , то уравнение (1.185) принимает более простой вид:

.

(1.186)

Уравнение (1.186) называется уравнением свободного теплообмена.

2. Установившийся поток тепла. Для стационарного процесса теплообмена, т.е. когда температура в каждой точке тела не меняется со временем , уравнение приобретает форму уравнения Пуассона:

,

(1.187)

где .

3. Установившийся поток тепла без тепловыделения. В этом случае и , поэтому распределение температуры подчиняется уравнению Лапласа:

.

(1.188)

С помощью уравнения (1.188) можно ответить на вопрос: каково должно быть распределение температуры внутри тела, чтобы дальнейшего теплообмена не происходило. Поясним: последнее возможно, если на границе области поддерживать постоянную температуру (различную в различных точках границы). Но это уже связано с вопросом о граничных и начальных условиях, к которому мы и переходим.

Начальное и граничные условия, их физическое толкование. Постановка задач

Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного уравнения (1.185). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).

Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени.

Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода.

Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения теплопроводности.

Начальное условие состоит в задании функции в начальный момент времени :

.

(1.189)

Выведем граничные условия в случаях I – III.

1. На концах стержня (или на одном конце) задается температура

, ,

(1.190)

где , - функции, заданные в некотором промежутке , причем есть промежуток времени, в течении которого изучается процесс. В частности, , , т.е. на концах поддерживается постоянная температура и .

2. На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения

.

(1.191)

Дадим физическое толкование этому условию. Пусть - величина теплового потока, т.е. количество тепла, протекающего через торцевое сечение в единицу времени. Тогда уравнение теплового баланса для элемента стержня в период времени , как и при выводе уравнения (1.183) запишется в виде

.

Сократив на и перейдя к пределу при , получим . Таким образом, имеем условие (1.192), в котором - известная функция, выражающаяся через заданный поток тепла по формуле .

Аналогично для сечения , через которое протекает количество тепла , найдем

.

Следовательно, условие или имеет место в случае, когда на соответствующем конце стержня задан тепловой поток, втекающий или вытекающий. В частности, если концевое сечение теплоизолировано, то или , и следовательно,

или .

3. На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения

.

(1.192)

Условие типа (1.192) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура которой известна, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:

,

где - коэффициент теплообмена (или внешней теплопроводности).

Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в силу закона сохранения энергии. Согласно закону Ньютона тепловой поток , вытекающий через сечение , равен

.

С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье

.

Приравнивая правые части этих выражений, найдем

.

Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде

,

в котором положено , .

Заметим, что граничные условия, наложенные на значения функции , называют условиями первого рода. Граничные условия, наложенные на значение производной , называют условиями второго рода. А условия, наложенные как на значение функции , так и на значение производной , называют условиями третьего рода.

В случае граничных условий вида (1.190), (1.191), (1.192) говорят соответственно о первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (1.189).

Так, первая краевая задача состоит в отыскании решения уравнения

при , ,

удовлетворяющего условиям

, ,

, , .

Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями граничных условий при и .

Кроме названных задач довольно часто встречаются предельные случаи – вырождения основных краевых задач. Одним из таких случаев является задача Коши, которая состоит в отыскании решения в неограниченной области, удовлетворяющего только начальному условию.

Если процесс теплопроводности изучается в очень длинном стержне, таком что влияние температурного режима, заданного на границе, в центральной части стержня оказывается весьма слабым в течение небольшого промежутка времени и определяется в основном лишь начальным распределением температуры, то тогда считают, что стержень имеет бесконечную длину и ставят задачу Коши.

ЗАДАЧА КОШИ для «бесконечного» стержня (идеализация достаточно длинного стержня) математически формулируется так: найти решение уравнения теплопроводности в области , , удовлетворяющее начальному условию

,

где - заданная функция.

Если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальным условием. При этом стержень считают полубесконечным. Приведем в качестве примера формулировку первой краевой задачи для «полубесконечного» стержня: найти решение уравнения теплопроводности в области , , удовлетворяющее условиям

, ,

, ,

где и - заданные функции.

Для уравнения (1.185) теплопроводности в пространстве , ограниченном поверхностью , начальное условие записывают в виде

,

а на границе области функция должна удовлетворять одному из условий:

1) (граничное условие 1-го рода);

2) (граничное условие 2-го рода);

где - внешняя нормаль к поверхности ; в частности, если поверхность теплоизолирована, то ;

3) (граничное условие 3-го рода).

Здесь - текущая точка поверхности .

Если распределение температуры внутри тела стационарно, то для однозначного определения функции не надо задавать начальное условие, т.к. в начальный и во все последующие моменты времени распределение температуры одно и то же, а достаточно знать лишь тепловой ражим на границе тела. Разыскание закона стационарного распределения температуры сводится к решению уравнения Пуассона (1.187) или уравнения Лапласа (1.188) по одному из граничных условий, в которых функции и не зависят от . Задача для уравнений Пуассона и Лапласа с граничным условием называется задачей Дирихле, а с условием - задачей Неймана.

Доказано, что решение каждой из одномерных краевых задач первой, второй и третьей единственно в классе функций, непрерывно дифференцируемых в области , . Для трехмерных и двумерных краевых задач решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условиям применимости соответственно формулы Остроградского и формулы Грина. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе функций, ограниченных во всем пространстве, единственно и устойчиво.