Двухфакторный дисперсионный анализ
Двухфакторные комплексы по своей структуре более сложны, чем однофакторные.
Объединение в один статистический комплекс допускается только таких факторов, которые независимы друг от друга (например, тип кормления и доза облучения, возраст и пол и т.д.).
Чтобы построить двухфакторную дисперсионную модель все имеющиеся данные представим в виде табл. 1, в которой по строкам - уровни фактора А, по столбцам - уровни фактора В, а в соответствующих клетках, или ячейках, таблицы находятся значения признака (i=1,2…, m; j=1,2…, l; k=1,2…, n):
Таблица 1.
В А | В1 | В2 | … | Вj | … | Вl |
А1 | … | … | ||||
А2 | … | … | ||||
. . . | … | … | … | … | … | … |
Аj | … | … | ||||
. . . | … | … | … | … | … | … |
Аm | … | … |
Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:
(1)
где - значение наблюдения в ячейке ij c номером k;
- общая средняя;
- эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;
- эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора B;
- эффект, обусловленный взаимодействием двух факторов, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели (1);
- возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.
Полагаем, что имеет нормальный закон распределения , а все математические ожидания равны нулю.
Групповые средние находятся по формулам:
в ячейке -
(2)
по строке -
, (3)
по столбцу –
(4)
Общая средняя
(5)
Таблица дисперсионного анализа имеет вид:
Таблица 2
Компоненты дисперсии | Сумма квадратов | Число степеней свободы | Средние квадраты |
Межгрупповая (фактор А) | m-1 | ||
Межгрупповая (фактор В) | l-1 | ||
Взаимодействие (АВ) | (m-1)(l-1) | ||
Остаточная | mln-ml | ||
Общая | mln-1 |
Можно показать, что проверка нулевых гипотез об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, В и их взаимодействия АВ осуществляется сравнением отношений .
Если n=1, т.е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены, так как выпадает компонента из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат , ибо в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.
Пример.В табл. 3 приведены суточные привесы (г) отобранных для исследования 18 поросят в зависимости от метода содержания поросят (фактора А) и качества их кормления (фактор В).
Таблица 3.
Количество голов в группе (фактор А) | Содержание протеина в корме, г (фактор В) | |
В1=80 | В2=100 | |
А1=30 | 530,540,550 | 600,620,580 |
А2=100 | 490,510,520 | 550,540,560 |
А3=300 | 430,420,450 | 470,460,430 |
Необходимо на уровне значимости оценить существенность (достоверность) влияния каждого фактора и их взаимодействия на суточный привес поросят.
Решение. Имеем m=3, l=2, n=3. Определим (в г) средние значения привеса:
в ячейках – по (формуле 2)
и аналогично
;
по строкам – по (3):
и аналогично
по столбцам – (4):
и аналогично
Общий средний привес – по (5):
.
Все средние значения привеса (г) поместим в табл. 3
Таблица 3.
Количество голов в группе (фактор А) | Содержание протеина в корме, г (фактор В) | ||
В1=80 | В2=100 | ||
А1=30 | |||
А2=100 | |||
А3=300 | |||
Из табл. 3 следует, что с увеличением количества голов в группе средний суточный привес поросят в среднем уменьшается, а при увеличении содержания протеина в корме - в среднем увеличивается. Но является ли эта тенденция достоверной или объясняется случайными причинами? Для ответа на этот вопрос по формулам табл. 2 вычислим необходимые суммы квадратов отклонений:
;
;
Средние квадраты находим делением полученных сумм на соответствующие им число степеней свободы m-1=2, l-1=1; (m-1)(l-1)=2; mln-ml=18-6=12; mln-1=18-1=17.
Результаты расчета сведем в табл. 4.
Очевидно, данные факторы имеют фиксированные уровни, т.е. мы находимся в рамках модели I. Поэтому для проверки существенности влияния факторов А, В и их взаимодействия АВ необходимо найти отношения:
,
и сравнить их с табличными значениями (см. приложение 6) соответственно Так как и , то влияние метода содержания поросят (фактор А) и качества их кормления (фактор В) является существенным. В силу того что взаимодействие указанных факторов незначимо (на 5%-ном уровне).
Таблица 4.
Компонента дисперсии | Суммы квадратов | Число степеней свободы | Средние квадраты |
Межгрупповая (фактор А) | |||
Межгрупповая (фактор В) | |||
Взаимодействие (АВ) | |||
Остаточная | |||
Общая |
Дата добавления: 2017-02-20; просмотров: 856;