Применение теоремы Остроградского - Гаусса к расчету электростатических полей в вакууме.

Еще в древности было известно явление электризации: янтарь, потертый о шерсть, приобретает способность притягивать к себе некоторые легкие предметы. Электризация бывает двух типов:

положительная (подобная электризации стекла, потертого о кожу);

отрицательная (подобная электризации кожи, потертой о стекло).

Одинаково наэлектризованные тела отталкиваются друг от друга, противоположно наэлектризованные тела – притягиваются. При соприкосновении тел электризация передается с одних тел другим. Если тело, наэлектризованное положительно, начать электризовать отрицательно, то состояние его электризации сначала уменьшается (что доказывается с помощью электроскопа), затем полностью пропадает, а затем начинает электризоваться отрицательно. Таким образом, заряды противоположных знаков компенсируют друг друга. Отсюда родилась идея о том, что и в незаряженных телах всегда имеются электрические заряды, но всегда противоположных знаков и в таких количествах, что их действие полностью компенсирует друг друга. Это позволяет сформулировать закон сохранения электрического зарядов: заряды не создаются и не пропадают, они могут быть лишь переданы от одного тела к другому или перемещены внутри данного тела.Существует и другая формулировка этого закона, который был экспериментально подтвержден в 1843 г. М. Фарадеем: алгебраическая сумма электрических зарядов в любой замкнутой системе остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри нее.

Носителями отрицательного и положительного электричества являются электрон и протон. Заряд любого тела всегда кратен элементарному электрическому заряду е (е = 1.6*10^-19 К). Заряды электрона и протона равны этому заряду, но противоположны по знаку: у электрона заряд отрицательный, у протона – положительный.

По количеству свободных носителей зарядов все тела делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Проводники – это тела, передающие электричество (проводящие электрический ток). Проводники делятся на проводники первого и второго родов. Проводники первого рода – металлы и их сплавы, перенос электрических зарядов (электронов) по их объему не сопровождается никакими химическими превращениями и переносом вещества в пространстве. Проводники второго рода – электролиты, т. е. вещества, расплавы или водные растворы которых проводят электрический ток. Носителями тока в электролитах являются катионы и анионы, на которые электролиты распадаются (диссо-циируют) в расплаве или водном растворе, перенос ионов по объему проводника второго рода сопровождается химическими превращениями.

Диэлектрики – вещества, в которых практически отсутствуют свободные заряды (стекла, кристаллы, пластмассы, керамика), заряды в диэлектриках не переносятся, они лишь могут незначительно смещаться из положений равновесия (такое явление называется поляризацией).

Полупроводники занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. К ним, например, относятся кремний, германий.

Единицей измерения электрического заряда является Кулон (Кл) – это заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока в 1 А.

Притяжение или отталкивание зарядов означает, что на заряды действуют силы притяжения или отталкивания. Если на тот или иной заряд, помещенный на некотором расстоянии от другого заряда, действуют такие силы, мы будем говорить об электростатическом поле. Ш. Кулоном (а Кавендишем еще раньше) был установлен закон взаимодействия неподвижных точечных зарядов (заряд называется точечным, если его размеры пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел):

Сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, прямо пропор-циональна их произведению зарядов и обратно пропорцио-нальна квадрату расстояния между ними:

F =kQ₁*Q₂/r². (3.1.1)

Эта сила направлена по прямой, соединяющей центры зарядов, она отвечает притяжению зарядов при F < 0 и их отталкиванию при F > 0 и носит название Кулоновской силы (силы Кулона). Величина коэффициента пропорциональности k зависит от выбора системы отсчета. В системе СИ

k = 1/4πε₀, (3.1.2)

тогда закон Кулона приобретает вид:

F = (1/4πε₀)*Q₁*Q₂/r², (3.1.3)

где ε₀ – электрическая постоянная, одна из фундаментальных физических постоянных, ε₀ = 8.85*10^-12 Кл²/Н*м² = 8.85*10^-12 Ф/м, где Ф – фарад – единица электрической емкости. 1/4πε₀ = 9*10⁹ м/Ф.

Электростатическое поле – одна из форм существования материи, оно передает действие одних наэлектризованных тел на другие. Свойства электростатического поля изучаются по его дейст-вию на пробный точечный положительный заряд. Он должен быть малым, чтобы не вызывать никакого перераспределения зарядов, создающих поле. Выберем в качестве него заряд Q₀ и внесем его в поле, которое создано зарядом Q. В зависимости от расстояния между зарядами Q и Q₀ на заряд Q₀ будет действовать сила притяжения или отталкивания той или иной величины и пропорциональная Q₀:

F = (1/4πε₀)*Q*Q₀/r², (3.1.4)

Но, если мы найдем отношение F/Q₀, то из 3.1.4 видно, что эта величина уже не будет зависеть от пробного заряда, а будет характеризовать поле в точке нахождения пробного заряда. Эта величина является силовой характеристикой электростатического поля и называется напряженностью:

E = F/Q₀. (3.1.5)

Для вакуума

E = (1/4πε₀)*Q/r² (3.1.6)

или в векторной форме

E = r/r(1/4πε₀)*Q/r². (3.1.7)

Направление вектора напряженности электростатического поля Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если Q₀ = 1, то E = F. Единицей измерения напряженности является 1 Н/Кл = 1 В/м. 1 Н/Кл – напряженность такого поля, которое действует на заряд в 1 Кл силой в 1 Н. В – единица потенциала электростатического поля (об этом чуть позже).

Каждой точке электростатического поля может быть сопостав-лен вектор напряженности Е, направление которого может изменять-ся при переходе от точки к точке. Поэтому графически электростати-ческое поле изображают с помощью линий напряженности – таких линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е (рис. 3.1.1).

Е

Е

 

Е

 

Рис. 3.1.1.

Число линий можно связать с напряженностью поля: где линий больше, там напряженность выше. Поле можно разбить на области, в пределах которых поле можно рассматривать однородным, для которого линии напряженности параллельны вектору Е. Для точечных зарядов линии напряженности представляют собой прямые, исходящие из положительного заряда и входящие в отрицательный заряд.

Выберем площадку ∆S₀, ориентируем ее перпендикулярно линиям напряженности и потребуем, чтобы ∆N/∆S₀ = E, где ∆N – число линий напряженности, пересекающих площадку ∆S₀ (рис. 3.1.2).

∆S₀

 

Е

 

 

Рис. 3.1.2.

 

Общее число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой образует угол α с вектором Е, будет равно

EdScosα = E_ndS, (3.1.8)

где E_n – проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS. Величина

dФ_E = E_ndS = EdS (3.1.9)

называется потоком вектора напряженности через площадку dS. В правой части уравнения 3.1.9 стоит так называемое скалярное произведение векторов.

Поток вектора напряженности через конечную поверхность S определяется как алгебраическая сумма элементарных потоков, а общее число линий напряженности, проходящих через эту поверхность, будет равно интегралу от E_ndS по всей поверхности S. Единицей измерения потока вектора напряженности электростатического поля является 1 В*м = 1 (В/м)*1 м².

Если поле создается системой зарядов Q_i, то на пробный заряд со стороны каждого из них будет действовать своя сила F_i = Q₀*E_i, где E_i – напряженность поля, созданного i-тым зарядом. Результирующая сила F = ∑ F_i, а, значит,

Е = ∑ E_i. (3.1.10)

Выражение 3.1.10 отражает принцип суперпозиции электростатических полей.

Теперь рассмотрим заряд Q, который создает поле. Определим поток вектора напряженности этого поля через замкнутую сферическую поверхность радиуса r:

Ф_Е = = (Q/4πε₀r²)* 4πr² = Q/ε₀. (3.1.11)

Этот результат справедлив для любой замкнутой поверхности, проведенной вокруг заряда. В общем случае справедлива теорема Остроградского – Гаусса:

Поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряд (заряды), равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри поверхности, деленной на электрическую постоянную.

Иногда электрические заряды могут быть распределены в пространстве с некоторой объемной плотностью ρ = dQ/dV, которая изменяется от точки к точке. Тогда суммарный электрический заряд внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V, можно найти, используя следующее выражение ∑Q_i = ∫ρdV. Тогда формула Остроградского – Гаусса запишется так:

= (1/ε₀) ∫ρdV. (3.1.12)

Теорема Остроградского – Гаусса применяется для расчета электростатических полей. Рассмотрим некоторые простые примеры.

1. Заряженная плоскость с поверхностной плотностью заряда σ = dQ/dS. В зависимости от знака заряда силовые линии будут либо исходить из плоскости, либо заканчиваться на ней. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, пересекающий заряженную плоскость, с боковой поверхностью, перпендикулярной ей. Поток вектора Е через боковую поверхность так ориентированного цилиндра равен нулю, поскольку нормаль к ней в любом месте образует угол в 90 ⁰ с силовыми линиями электрического поля, из-за чего его косинус равен нулю (см. уравнение 3.1.8). Тогда полный поток будет равен потоку через основания цилиндра, т. е. 2ES, а заряд, заключенный внутри поверхности, равен σS. По теореме Остроградского – Гаусса получаем следующее равенство

2ES = σS/ε₀, (3.1.13)

откуда

Е = σ/2ε₀. (3.1.14)

2. Две параллельные разноименно заряженные плоскости с поверхностной плотностью зарядов +σ и–σ (рис.3.1.3).

+σ –σ

Рис. 3.1.3.

Каждая из них создает свое поле. Общее поле найдем, воспользовавшись принципом суперпозиции. Пусть верхние стрелки характеризуют напряженность поля положительно заряженной плоскости, а нижние – отрицательно заряженной плоскости. Как хорошо видно на рисунке, слева и справ от плоскостей поля вычитаются, т. е. там Е = 0. В пространстве между плоскостями Е = Е₊ + Е_–, поэтому результирующая напряженность

Е = σ/ε₀. (3.1.15)

3. Для равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R.

Е = Q/4πε₀r² при r ³ R, (3.1.16)

где r – радиус-вектор точки, лежащей вне сферы.

4. Для объемно заряженного шара с объемной плотностью заряда r напряженность поля внутри шара

Е = Qr’/4πε₀R³ (r’ ≤ R) (3.1.17)

и вне шара

Е = Q/4πε₀r² (r ³ R). (3.1.18)

 

1.

<== предыдущая лекция	|	следующая лекция ==>
Изъяны рынка. Внешние эффекты.	|	Закаливание организма. Валеологические основы закаливания

---

Дата добавления: 2018-09-24; просмотров: 864;

---