Гидростатика. Гидростатическое давление
Гидростатика изучает теорию равновесия и относительного покоя жидкостей и газов. Исходным пунктом условий равновесия является изучение сил, действующих на некоторый объем жидкости.
Силы, приложенные к частицам сплошных сред могут быть классифицированы по своей природе или по характеру действия на массовые (объемные) и поверхностные.
В зависимости от области приложения силы подразделяются на внутренние и внешние.
Массовые (объемные) силы пропорциональны массе выделенного объема и действуют на все частицы этого объема. К массовым силам могут быть отнесены силы различного физического происхождения: силы веса, электромагнитные (силы Лоренца, электростатические и силы, действующие на магнитные жидкости) и различные силы инерции (кориолисова сила, центробежная и др.). Это силы дальнодействия.
Поверхностные силы действуют локально на поверхность выделенного объема. В общем случае поверхностные силы могут иметь составляющие, направленные по нормам и по касательной к площадке действия.
В покоящейся жидкости поверхностные силы направлены по нормали поверхности выделенного объема жидкости. В движущейся жидкости дополнительно возникают касательные составляющие поверхностных сил, наиболее важными из которых являются силы трения.
В некотором объеме распределение массовых сил задается вектором плотности массовых сил , приложенных к частицам этого объема массовой при ее стремлении к нулю, т. е.
(2.1)
Осредненное значение вектора плотности массовых сил равно отношению главного вектора массовых сил к величине массы
(2.2)
Размерность плотности массовой силы совпадает с размерностью ускорения
(2.3)
Величина поверхностной силы в общем случае зависит от выбора направления элементарной площадки, поэтому обычно рассматривается не сами, а их напряжения
(2.4)
где главный вектор поверхностных сил, приложенных к площадке .
Размерность напряжений
(2.5)
В практике используется единица измерения называемая технической атмосферой, которая равна 1 т. а. = 1 кг с/см2 = 736 мм рт. ст. = 10 м вод. ст. = 105 Па.
Отметим, что величина 1 Па = 1 бар = 10-5 кг с/см2 = 0,1 мм вод. ст.
Рассмотрим равновесие элементарного жидкого объема под действием поверхностных и объемных сил.
Выделим в жидкости элементарный тетраэдр с ребрами (рис.2.2).
Рис. 2.1. Силы, действующие на элементарный тетраэдр
Обозначим площадки действия элементарных сил соответственно
Поверхностные силы элементарного тетраэдра пропорциональны второй степени от размеров тетраэдра, а объемные – третьей и являются величинами третьего порядка малости, тогда как поверхностные имеют второй порядок.
Выделение одной из поверхностей жидкости (рис.2.3) показывает, что в покоящейся жидкости касательная составляющая и полная величина напряжения или элементарной поверхностной силы равна .
Рис.2.2. Силы, действующие на площадку в жидкости
Для равновесия выделенного объема необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на координатные оси была равна нулю:
;
; (2.6
,
где - орт нормали к наклонной грани.
Относя величины элементарных сил к площади граней, на которые они действуют, получим
;
; (2.7)
.
Поскольку , , являются проекциями наклонной грани на плоскость , то
;
; (2.8)
.
Подстановка позволяет записать
;
или . (2.9)
Этот вывод носит название закона Паскаля и гласит, что давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.
Иначе, давление в жидкости, определенное в заданной точке, не зависит от ориентации площадки действия и является функцией только координат
. (2.10)
Рассмотрим равновесие элементарного прямоугольного параллелепипеда со сторонами , выделенного в покоящейся жидкости.
На единицу массы жидкости действует массовая сила плотностью с составляющими . Если от начала координат величина давления является возрастающей функцией координат, а в точке параллелепипеда действует давление , то на соответствующих противоположных гранях давления равны
; ; . (2.11)
Уравнение равновесия в проекции на ось имеет вид
(2.12)
или
. (2.13)
Аналогично, в проекциях на оси координат и получим
; (2.14)
. (2.15)
Это уравнения Эйлера или основные уравнения гидростатики.
Эту систему переписывают в виде
(2.16)
Рис. 2.3.Силы, действующие на элементарный параллепипед
Поскольку
(2.17)
и , (2.18)
то система может быть переписана в векторной форме
(2.19)
Умножая систему уравнений в проекциях последовательно на и складывая, получим
(2.20)
Правая часть уравнения является полным дифференциалом, поэтому и левая часть есть полный дифференциал и
(2.21)
где
(2.22)
в случае изотропной жидкости ( )
, (2.23)
где - потенциал массовых сил и
(2.24)
В этом случае
(2.25)
Следовательно, жидкость может находиться в равновесии в случае, когда массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал.
Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называется поверхностью уровня. При уравнение поверхности уровня будет
(2.26)
или .
Следовательно, поверхность уровня это одновременно и эквипотенциальная поверхность.
Равновесие тяжелой несжимаемой жидкости.
Для тяжелой несжимаемой жидкости при отсутствии других массовых сил, кроме сил тяжести, имеем
и (2.27)
поэтому уравнения равновесия принимают вид
(2.28)
Первые два уравнения выражают независимость давления от координат и , поэтому поверхность уровня являются горизонтальными плоскостями.
Интегрирование последнего уравнения дает при постоянных и выражение
(2.29)
Если начало координат совмещено со свободной поверхностью покоящейся жидкости, на которой действует постоянное давление , то при
При получим
(2.30)
где - глубина погружения под свободную поверхность, направленная против направления оси .
Закон гидростатики, следовательно, гласит: давление в любой точке жидкости, находящейся в покое, равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки и с площадью основания, равной единице.
Примером использования основного закона гидростатики является работа сообщающихся сосудов (рис. 2.5.)
Давление в плоскости 0-0 следует считать одинаковым из условия сохранения равновесия жидкости, поэтому
(2.31)
что дает
(2.32)
Дата добавления: 2018-06-28; просмотров: 977;