Подходы к построению карт

Основные возможности пакета Surfer

Surfer позволяет строить и визуализировать двумерные карты, которые математически описываются функцией вида z=f(x,y). Назовем три основные функции пакета:

а) построение цифровой модели поверхности;
б) вспомогательные операции с цифровыми моделями;
в) визуализация поверхности.

Постановка задачи построения геологической карты формулируется как переход от набора значений функции Z в произвольных (неупорядоченных) точках плоскости (n точек с координатами X_i,Y_i, i=1,2,…, n) к значениям этой функции в узлах некоторой регулярной сетки. В более общей постановке эта задача сводится к вычислению значений функции в любой точке области картирования (а значит, и в узлах сетки) по исходному набору данных.

Переход к значениям в регулярной сетке необходим для решения двух задач:

1) построения непрерывной поверхности (например, в виде карты), по которой можно было бы узнать значения параметра в любой точке области построения карты;

2) представления этих данных в виде математической цифровой модели, с помощью которой, решают другие геологические задачи, например, прогноз изменения геолого-промысловых параметров в межскважинном пространстве или подсчет запасов.

Пакет Surfer предоставляет широкий набор математических методов интерполяции и аппроксимации, которые позволяют выбрать наиболее подходящий алгоритм для повышения точности модели. Достоинством пакета Surfer является возможность проводить оценку качества исходных данных и получаемых результатов.

Перечисленные возможности пакета Surfer 8.0 позволяют проводить выявление "подозрительных" данных, и некачественных замеров. Имеется возможность определять участки, где наблюдается недостаток полевых данных. Таким образом, речь идет уже о задаче выбора оптимальной конфигурации размещения сетки скважин, обеспечивающую необходимую точность геологической модели. В пакете Surfer решение подобных задач обеспечивается построением карт значений погрешностей интерполяции, а также расширенными возможностями моделирования с использованием вариограмм.

Подходы к построению карт

Существует два основных принципа построения карт: в первом случае используется система треугольников, где вершины треугольников находятся в точках замера, во втором - регулярная сетка, где точки размещаются в узлах регулярной сетки (рис. 1.1).

При способе треугольников точки соседних скважин соединяют на плане линиями таким образом, что образуется система треугольников (рис. 1.1 а). Затем на каждой линии по правилу линейной интерполяции находят точки со значениями абсолютных отметок, кратными выбранной величине сечения между изогипсами.

Линейная интерполяция предполагает, что наклон линии, соединяющий две скважины, на всем её протяжении постоянен. Расстояние любой изогипсы от одной из точек наблюдения на этой линии при линейной интерполяции можно найти по формуле

L_x=[(H_х- H₁)/( H₂- H₁)] l_1,2 , (1.1)

где L_x - расстояние от искомой изогипсы до скважины 1 на линии, соединяющей скважины 1 и 2; H_х – значение (абсолютная отметка) искомой изогипсы; H₁ и H₂ – значения картируемой поверхности соответственно в скв. 1 и 2; l_1,2 - расстояние между скв. 1 и 2.

Чем больше точек наблюдения, тем меньше размер треугольников и тем точнее построенная карта будет отражать форму реальной картируемой поверхности.

Одним из достоинств метода триангуляции является то, что при достаточном количестве экспериментальных точек по обе стороны от линии разрыва, цифровая функция отобразит этот разрыв.

а) б)

Рис. 1.1. Основные принципы построения карт:

а) триангуляция; б) сеточный метод

Grid – представление цифровой модели значениями параметра в узлах регулярной сетки.

Интерполяция это один из способов аппроксимации. Аппроксимация (от лат. approximo — приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Она позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). Интерполяция - это восстановление функции в промежуточной точке по известным её значениям в соседних точках, эти точки Х_i и Y_i, i=0,1,2,…,n называют узлами интерполяции, а функцию – интерполирующей или интерполянтом. Вид функции определяет способ интерполяции. На практике в качестве интерполирующей функции часто используются алгебраические полиномы различного порядка, так как полиномы легко вычислять, дифференцировать и интегрировать. Эта интерполяция называется полиномиальной. В простейшем (одномерном) случае задача интерполяции состоит в том, что по заданным точкам (Х_i, Y_i, i=0,1,2,…, n), требуется найти функцию F(Х), которая проходит через эти точки, т.е. выполняются равенства F(Х_i)= Y_i, i=0,1,2,…, n.

Все методы интерполяции делятся на 2 группы: детерминированные и геостатистические. Детерминированные методы для интерполяции используют математические функции (зависимости). Геостатистические методы базируются на математических и на статистических функциях, которые могут быть использованы для построения поверхностей и оценки точности прогнозов.

Многие карты отличаются большой сложностью, а именно сильной изменчивостью, разрывностью функций и т.д. При построении таких карт в целом по всей области [X₁,X_n]*[Y₁,Y_n] необходимо использовать довольно сложные функции с большим числом параметров. Например, при интерполяции алгебраическими полиномами необходимо рассматривать полиномы высоких степеней. Но как известно из теории интерполяции, такие полиномы дают большие вычислительные погрешности. С другой стороны, при интерполяции «в целом» по всей области, при построении интерполирующего полинома используются значения Z_i, расположенные друг от друга на значительном расстоянии, из чего может следовать их статистическая независимость.

Исходя из этого в пакете Surfer, как и во многих других современных пакетах геологического моделирования, используют методы локальной интерполяции (ЛИ). В методах ЛИ при вычислении каждого интерполирующего значения используется не вся выборка, а только замеры, расположенные в некоторой окрестности, радиус которой обозначим R. В методах ЛИ точность интерполяции сильно зависит от значения R. Ясно, что величина R должна определятся радиусом корреляции случайного параметра Z. Но на практике радиус корреляции не известен.

Почти все методы интерполяции пакета Surfer имеют параметры, задание которых позволяет осуществлять ЛИ. Например, метод радиальных базисных функций и метод Kriging.

Наиболее обоснованно значение R можно задавать в методе Kriging, в котором предусмотрено построение вариограмм по областям различной геометрии и размера.

Следует иметь в виду, что любая геологическая модель, как впрочем и всякая модель, является приближенным описанием изучаемого объекта. Одним из видов погрешностей, осложняющих модель, являются ошибки алгоритма. Поэтому процесс построения модели не может заканчиваться построением карты, а должен быть продолжен анализом модели, в частности, выявлением и устранением алгоритмических ошибок.