Основные свойства определенного интеграла

1 При перестановке пределов интегрирования знак определённого интеграла изменяется на противоположный.

2 Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак определённого интеграла.

3 Определённый интеграл суммы функций равен сумме определённых интегралов этих функций.

Например, вычислить определённый интеграл:

Решение. Этот интеграл можно вычислить, введя следующую замену переменой:

9-5sin x= t, тогда d(9-5sinx)=d t,

или –5 cos x d x =d t, откуда: Cos x d x = - 1/5 d t

При замене переменной в определенном интеграле поменяются и границы интегрирования. Новые границы интегрирования найдем из подстановки, то есть из равенства

9-5sin x= t, полагая в нем x=0, а затем, соответственно , получим: t=9 и t=4. Это можно записать короче так: .

Итак, (4,9)= .

Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=8+2x-x² и y=2x-4.

Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x² отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2-2x; 2-2x=0, x=1 – абсцисса вершины; y(1)=8+2∙1-1²=9 – ее ордината, N(1;9) - вершина. Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений

Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны, получим 8+2x-x²=2x-4 или x²-12=0, откуда .

Итак, точки - точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1)

Рисунок 1 Графики функций y=8+2x-x² и y+2x-4

Построим прямую y=2x-4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат. Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8+2x-x²=0 или x²-2x-8=0. По теореме Виета легко найти его корни: x₁=2, x₂=4. На рисунке1 изображена фигура (параболический сегмент M₁N M₂), ограниченный данными линиями

Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле

Применительно к данному условию, получим интеграл:

Ответ: (кв. ед.)

Вопросы для повторения

1 Дайте определение первообразной функции.

2 Что такое неопределённый интеграл от данной функции?

3 Что называется интегрированием функции?

4 Основные свойства неопределённого интеграла.

5 В чём состоит геометрический смысл неопределённого интеграла.

6 Основные формулы интегрирования.

7 Способ подставки и способ интегрирования по частям.

8 Определённый интеграл.

9 Свойства определённого интеграла

10 Формула Ньютона – Лейбница.

11 Геометрический смысл определённого интеграла.