Измерение тесноты связи

Проверка практической значимости построенных в корреляционно-регрессионном анализе математических моделей осуществляется посредством показателей тесноты связи между факторным и результативным признаками.

К простейшим показателям степени тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, предложенный немецким учёным Г.Фехнером. Этот показатель основан на оценке степени согласованности знаков (направлений) отклонений факторного и результативного признаков от их средних значений.

Коэффициент корреляции знаков определяется формулой

где - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от их средних ; - число несовпадений знаков отклонений. Коэффициент Фехнера может принимать значение в пределах от -1 до +1. Если знаки большинства пар отклонений совпадут, то тогда показатель будет близок к 1, что свидетельствует о наличии прямой связи.

Более совершенным показателем степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции, впервые введённый английским математиком К.Пирсоном:

В этом показателе учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признаков от средних, но и сами величины таких отклонений.

Между линейным коэффициентом и коэффициентом регрессии в уравнении линейной парной регрессии существует зависимость, определяемая формулой

где и - средние квадратические отклонения факторного и результативного признаков, соответственно.

Линейный коэффициент корреляции имеет большое значение при исследовании социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Поэтому на практике часто анализ начинают с расчёта этого коэффициента. Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при коэффициенте корреляции указывает на направление связи – прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратной – знак минус. Условие является необходимым и достаточным, чтобы признаки и были независимы. При этом условии соответствующие коэффициенты регрессии обращаются в нуль, а прямые регрессии по и по оказываются взаимно перпендикулярными в прямоугольной системе координат.

Линейный коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь в случае наличия линейной зависимости между признаками. При наличии же криволинейной зависимости линейный коэффициент корреляции недооценивает степень тесноты связи и даже может быть равен нулю. В таких случаях зависимости между признаками применяют эмпирическое корреляционное отношение и теоретическое корреляционное отношение (индекс корреляции).

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным, получаемым в результате группировки

где - общая дисперсия результативного признака;

- межгрупповая дисперсия результативного признака;

- средняя внутригрупповых дисперсий результативного признака.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле

где - факторная дисперсия или дисперсия выравненных значений результативного признака (т.е. рассчитанных по уравнению регрессии)

- остаточная дисперсия, отображающая вариацию результативного признака от всех прочих, кроме , факторов

Соотношение между факторной и общей дисперсиями

называется индексом детерминациии характеризует часть общей вариации результативного признака , описываемую фактором в регрессионной модели. Корень квадратный из индекса детерминации определяет индекс корреляции .

Необходимо заметить, что правило сложения дисперсий в виде

выполняется всегда для определённой совокупности наблюдений. Заметим также, что по абсолютной величине линейный коэффициент корреляции равен индексу корреляции только при прямолинейной связи.

Представленные выше показатели тесноты связи, исчисленные по данным сравнительно небольшой статистической совокупности (при ), могут искажаться действием случайных причин. Это вызывает необходимость проверки их существенности.

Для оценки значимости коэффициента корреляции (или коэффициентов регрессии) применяется t –критерий Стьюдента. Вычисленное значение критерия

сравнивается с критическим , которое берётся из таблицы значений Стьюдента с учётом заданного уровня значимости и числа степеней свободы . Если величина , то величина коэффициента корреляции признаётся значимой.

Для оценки значимости индекса корреляции (или адекватности построенной регрессионной модели) применяется F-критерий Фишера. Фактическое значение критерия вычисляется по формуле

и сравнивается с критическим значением , которое определяется по таблице F-критерия с учётом принятого уровня значимости и числа степеней свободы и - число параметров уравнения регрессии). При величина индекса корреляции признаётся значимой.

В случаях, если изучаются совокупности достаточно большого объёма, применяют другие методы оценки значимости описанных выше показателей (например, пользуются таблицей интеграла вероятностей Лапласа).

В заключение настоящей темы следует подчеркнуть, что интерпретация моделей регрессии должна осуществляться методами той отрасли знаний, к которой относятся исследуемые явления и процессы. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель параметров.

При анализе адекватности уравнения регрессии описываемому процессу возможны следующие варианты:

1) построенная модель на основе её проверки по F-критерию в целом адекватна, и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений и прогнозов;

2) модель по F-критерию адекватна, но часть коэффициентов регрессии незначима. В этом случае модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для производства прогнозов;

3) модель по F-критерию адекватна, но все коэффициенты регрессии незначимы. Такая модель непригодна для принятия решений и осуществления прогнозов.