Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины совершает малые поперечные колебания. Поставить задача об определении отклонений точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент струна имела форму ( ) и скорость каждой ее точки задается функцией . Рассмотреть случаи:

а) концы струны закреплены;

б) концы струны свободны;

в) к концам струны и , начиная с момента , приложены поперечные силы и соответственно;

г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца.

Решение. Как известно, отклонения точек струны от положения равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравнению свободных колебаний (2.70)

.

Здесь , натяжение, линейная плотность , т.к. струна однородная.

Начальные условия имеют вид:

, , .

Займемся выводом граничных условий.

Случай а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равными нулю при любом , т.е.

, , .

Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию , определенную при и , являющуюся решением уравнения

и удовлетворяющую граничным условиям

,

и начальным условиям

, .

Случай б). Если концы струны свободны, то внешние силы, приложенные к ним, равны нулю. И, следовательно, равна нулю сила натяжения , которая согласно закону Гука, пропорциональна удлинению: , где коэффициент включает модуль упругости материала. Поэтому

, , ,

Задача формулируется следующим образом: найти решение уравнения

, , ,

удовлетворяющее граничным условиям

,

и начальным условиям

, .

Случай в). Рассмотрим граничные элементы и . Запишем второй закон Ньютона для правого элемента , на который действует сила и сила натяжения :

Переходя к пределу при , получим

, откуда .

Аналогично получим условия для левого конца:

.

Таким образом, задача ставится так: найти в области , , решение уравнения

,

удовлетворяющее граничным условиям рода

,

и начальным условиям

, .

Случай г). При упругом закреплении концов каждый конец испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца, т.е.

, ,

где - коэффициент жесткости упругого крепления концов струны. Тогда из граничных условий в случае в) получим

, ,

иначе , .

Математическая формулировка задачи: найти решение уравнения

,

удовлетворяющее граничным условиям III рода

, ,

и начальным условиям

, , .