Волновое и телеграфное уравнения

Уравнение

,

(1.102)

где - скорость распространения волны в данной среде, называется волновым уравнением.

В приведенном уравнении обозначают декартовы координаты точки, - время.

Для двумерного пространства (плоский случай) волновое уравнение имеет вид

.

(1.103)

В одномерной области уравнение (1.102) принимает вид

.

(1.104)

Волновое уравнение описывает процессы распространения упругих, звуковых, световых, электромагнитных волн, а также другие колебательные явления. Например, волновое уравнение может описать:

а) малые поперечные колебания струны (при этом под понимают поперечное отклонение точки струны от положения равновесия в момент времени ; при каждом фиксированном значении график струны на плоскости дает форму струны в этот момент времени);

б) продольные колебания упругого стержня ( - продольное отклонение частицы от ее положения при отсутствии деформации);

в) малые упругие колебания плоской пластины, мембраны;

г) течение жидкости или газа в коротких трубах, когда трением о стенки трубы можно пренебречь ( - давление или расход).

Уравнение вида

(1.105)

называется телеграфным уравнением. Оно описывает электрические колебания в проводах ( - сила тока или напряжение), неустановившееся течение жидкости или газа в трубах ( - давление или скорость).

Волновое и телеграфное уравнения входят в группу уравнений гиперболического типа.