Механический способ

Механический способ определения площади - это измерение на карте или плане площади участка с произвольными границами при помощи специального прибора - планиметра. Полярный планиметр имеет два рычага: полюсный R1 и обводной R (рис.6.4).

Один конец полюсного рычага - точка 0 - является полюсом планиметра, - на нем крепится игла; другой его конец шарнирно соединяется с обводным рычагом в точке b. На одном рычаге обводного рычага имеется счетное колесо K, которое располагается перпендикулярно рычагу, на другом конце рычага находится обводная точка f. Для механического счета числа оборотов счетного колеса имеется счетный механизм. Счетный барабан разделен на сто частей,и сбоку от него имеется верньер на одну десятую деления. Обводное колесо и счетный механизм помещаются на каретке, которую можно перемещать вдоль обводного рычага , изменяя тем самым его длину R = bf.

Рис.6.4

Измерение площади сводится к обводу по контуру участка на карте обводной точкой f; при этом вследствие трения о бумагу счетное колесо вращается. Берут отсчет по счетному механизму до обвода контура n1 и после обвода - n2. Площадь участка вычисляют по формуле:

P = c * ( n2 - n1 ), (6.21)

где c - цена деления планиметра.

Внешний вид полярного планиметра изображен на рис.6.5; на нем цифрами обозначены: 1 - основная каретка, 3 - полюсный рычаг, 4 - полюс, 6 - стеклянная пластинка с обводной точкой, 7 -обводной рычаг, 8 - шарнирное соединение, 9 - счетчик полных оборотов, 10 - счетное колесо, 11 - верньер.

Рис.6.5

Теория полярного планиметра. Предметом теории планиметра является вывод формулы площади обводимого участка в зависимости от числа оборотов счетного колеса. При выводе формулы выделим два случая: полюс планиметра располагается внутри контура и вне контура.

Рассмотрим первый случай - полюс внутри контура. Обозначим:
R - длина обводного рычага,
R1 - длина полюсного рычага,
r -расстояние от счетного колеса до шарнира (рис.6.6).

Пусть обводная точка f движется по контуру участка и в какой -то момент занимает положение f1.

Через малый промежуток времени она займет положение f2, а точка b переместится из положения b1 в положение b2. За этот промежуток времени планиметр измерит площадь pi элементарного участка; на рисунке этот участок заштрихован. Площадь pi можно представить как сумму площадей трех фигур:

параллелограмма b1b2f'1f1 - R*hi,

кругового сектора Ob1b2 радиуса R1 - 0.5 * R12 * αi;

кругового сектора b1f'1f2 радиуса R - 0.5 * R2*β i;

pi = R * hi + 0.5 * R12 * i + 0.5 * R2*<β i (6.22)

Рис.6.6

Пусть за этот промежуток времени счетное колесо повернулось на дугу si. При движении обводного рычага параллельно самому себе счетное колесо вращается полностью, а при движении обводного рычага вдоль своей оси оно не вращается, а скользит по бумаге.

Разобьем движение обводного рычага на два движения:

параллельно самому себе - колесо повернется на дугу hi ,

поворот вокруг точки b2 на угол β i - колесо повернется на дугу в обратном направлении, поэтому:

si = hi - ,

отсюда

hi = si + .

Подставим последнее выражение в формулу (6.22) и получим:

pi = R * si + R * r * bi + 0.5 * R12 * αi+ 0.5 * R2*β i.

Сложим площади элементарных участков pi и получим площадь всего измеряемого участка:

P = pi = R * si + R * r * bi + 0.5 * R12 * αi+ 0.5 * R2* β i. (6.23)

Сумма si выражает дугу, на которую повернулось счетное колесо при обводе всего участка; она равна произведению разности конечного и начального отсчетов по счетному колесу на длину дуги l, соответствующей одному делению счетного колеса:

si = l * (n2 - n1). (6.24)

Полюсный рычаг повернется на угол 360o или π, αi = π, обводной рычаг повернется также на угол 360o или π, β i = π.

Таким образом,

P = R * l * (n2 - n1) + π * ( R12 + R2 + 2 * R * r). (6.25)

Обозначив R * l через c и π * ( R12 + R2 + 2 * R * r) через Q, запишем:

P = c * (n2 - n1) + Q . (6.26)

Постоянная планиметра c называется ценой деления планиметра, постоянная Q - постоянным числом планиметра.

Во втором случае, когда полюс находится вне контура, все выводы повторяются, только при полном обводе контура:

α i = 0, β i = 0 ,

поэтому

P = c * (n2 - n1). (6.27)

Геометрический смысл постоянных планиметра.Цена деления планиметра равна площади прямоугольника со сторонами l и R. Постоянное число планиметра Q равно площади круга радиусом ρ;этот круг называется основным кругом планиметра. Радиус основного круга получим из рис.6.7. Если поставить планиметр так, чтобы плоскость счетного колеса проходила бы через полюс планиметра O и, сохраняя это положение, обвести круг радиусом ρ, то площадь этого круга будет равна:

π * ρ2= π * [(OK)2 + (r + R) 2].

Рис.6.7

Из ΔOKB выразим (OK)2 = R12 - r2 и, подставив его значение в предыдущую формулу, получим:

π * ρ2= ( R12 + R2 + 2 * R * r) = Q.

Цену деления планиметра определяют, измеряя известную площадь, например, площадь квадрата координатной сетки. Считается, что при четырехкратном обводе трех квадратов по отдельности среднее значение цены деления получается с ошибкой около 1/1000. Точность измерения площади планиметром зависит от величины участка и от методики измерения площади. При обычной методике - двукратный обвод участка - относительная ошибка может колебаться от 1/100 до 1/300; применяя методику, известную под названием "способ Савича", для больших участков можно достичь точности измерений на уровне 11/500 - 1/10000.

Способ А.Н. Савича включает следующие операции:

разделение участка на 4 части (u1,u2, u3,u4) линиями координатной сетки; выделение в центре участка k целых квадратов координатной сетки (рис.6.8), на рисунке k = 2,

Рис.6.8

обвод каждой части участка, получение разностей Δnu1, Δnu2, Δnu3, Δnu4 отсчетов по счетному механизму (Δnui = n2 - n1),

обвод дополнения (d1, d2, d3, d4) каждой части до прямоугольника (квадрата), образованного линиями координатной сетки, получение разностей Δnd1, Δnd2, Δnd3, Δnd4,

вычисление цены деления планиметра 4 раза по формуле:

ci = ( ti * po) / ( Δnui + Δndi),

где: ti - количество квадратов координатной сетки в суммах ui + di (на рисунке t1 = t4 = 4, t2 = t3 = 1),
po - площадь квадрата координатной сетки в гектарах,
Δnui, Δndi - i-тые разности отсчетов по счетному механизму и среднего из четырех

cср = 0.25 * (c1 + c2 + c3 + c4),

вычисление площади каждой части участка p1, p2, p3, p4

pi = cср * Δnui ,

вычисление площади участка P = p1 + p2 + p3 + p4 + k * po .