Будущая стоимость постоянной ренты постнумерандо

Поскольку обобщающие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим формулы для расчета будущей стоимости всех видов постоянных рент, хотя для понимания существа дела достаточно разобраться с расчетом соответствующих характеристик годовой ренты.

Годовая рента.Начнем с наиболее простого случая – годовой ренты постнумерандо. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по Rруб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R, а срок n.Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член проценты начисляются n - 1 год, на второй n- 2и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенные к концу срока каждого взноса суммы составят:

Перепишем этот ряд в обратном порядке.

Нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + i) и первым членом R.Число членов прогрессии равно n.Искомая величина равна сумме членов этой прогрессии. Отсюда будущая стоимость финансовой ренты рассчитывается по формуле:

Схема расчета будущей стоимости финансовой ренты постнумерандо (рента, платежи по которой осуществляются в конце периода) представлена на рис. 6.

время

Рис. 6. Схема расчета будущей стоимости финансовой ренты

Пример 2. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 50 тыс. рублей, на которые будут начисляться проценты по ставке 13%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

Решение:

Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента (проценты начисляются один раз в год); взносы будут в конце периода ренты, значит это рента постнумерандо; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечное число, следовательно, это ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.

Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:

тыс.руб.

Сумма взносов в течение 5 лет составит:

P = n * R = 5 * 50= 250 тыс. руб.

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

I = S - P = 324 - 250 = 74 тыс. руб.

Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 74 тыс. руб.

Можно решить обратную задачу: величина члена ренты Rs при заданной наращенной (будущей) стоимости ренты S_R определяется по формуле:

,

где R_S – величина ренты.

Пример 3. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 3 млн рублей. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 15%.

Решение:

В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:

тыс.руб.

Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 445 тыс. рублей.