Проверка соответствия ряда распределения нормальному
Под теоретической кривой распределения понимается графическое изображение ряда в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариантов, другими словами, теоретическое распределение может быть выражено аналитически – формулой, которая связывает частоты и соответствующие значения признака. Такие алгебраические формулы носят название законов распределения. Большое познавательное значение имеет сопоставление фактических кривых распределения с теоретическими.
Как уже неоднократно отмечалось, часто пользуются типом распределения, которое называется нормальным. Формула функции плотности нормального распределения имеет следующий вид (41):
или (41)
где X – значение изучаемого признака;
– средняя арифметическая ряда;
σ – среднее квадратическое отклонение;
– нормированное отклонение;
π = 3,1415 – постоянное число (отношение длины окружности к ее диаметру);
e = 2,7182 – основание натурального логарифма.
Следовательно, кривая нормального распределения может быть построена по двум параметрам – средней арифметической и среднему квадратическому отклонению. Поэтому важно выяснить, как эти параметры влияют на вид нормальной кривой.
Если не меняется, а изменяется только σ, то чем меньше σ, тем более вытянута вверх кривая и наоборот, чем больше σ, тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая нормального распределения (см. рис. 8).
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8. Влияние величины σ на кривую нормального распределения
Если σ остается неизменной, а изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты (вершины) (см. рис. 9).
|
|
|
|
|
|
Рис. 9. Влияние величины на кривую нормального распределения
Итак, выделим особенности кривой нормального распределения:
1) кривая симметрична и имеет максимум в точке, соответствующей значению = Ме = Мо;
2) кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности (чем больше отдельные значения X отклоняются от , тем реже они встречаются);
3) кривая имеет две точки перегиба на расстоянии ± σ от ;
4) коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.
Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в изучаемой совокупности подчиняется какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому распределению.
Под гипотетическим распределением необязательно понимается нормальное распределение. Может быть выдвинута гипотеза о логнормальном, биномиальном распределениях, распределении Пуассона и пр.[21] Причина частого обращения к нормальному распределению состоит в том, что, как уже было замечено ранее, в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из не имеет преобладающего влияния.
В нашем примере про ВО близость значений средней арифметической величины (60,82), медианы (59,30) и моды (58,96) указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону.
Проверка гипотезы о соответствии теоретическому распределению предполагает расчет теоретических частот этого распределения.
Для нормального распределения порядок расчета этих частот следующий:
1) по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение σ;
2) находят нормированное (выраженное в σ) отклонение каждого эмпирического значения от средней арифметической:
;(42)
3) по формуле (41) или с помощью таблиц интеграла вероятностей Лапласа находят значение φ(t)[22];
4) вычисляют теоретические частоты m по формуле:
,(43)
где N – объем совокупности, hi – длина (размах) i-го интервала.
Определим теоретические частоты нормального распределения в нашем примере про ВО по данным табл. 12, для чего построим вспомогательную таблицу 14. Средняя арифметическая величина и среднее квадратическое отклонение нами уже найдены ранее ( ); значения нормированных отклонений t рассчитаны в 5-м столбце таблицы 14, а значения плотностей φ(t) – в 8-м столбце (в 6-м и 7-м столбцах приведены промежуточные расчеты по формуле (41)); в последнем столбце – теоретические частоты нормального распределения.
Таблица 14. Расчет теоретических частот нормального распределения
i | Xi | fi | Хi’ | φ(t) | mi | |||
24,16 – 38,66 | 31,41 | -1,4889 | -1,1084 | 0,3301 | 0,0067 | 3,383 | ||
38,66 – 53,16 | 45,91 | -0,7549 | -0,2850 | 0,7520 | 0,0152 | 7,707 | ||
53,16 – 67,66 | 60,41 | -0,0210 | -0,0002 | 0,9998 | 0,0202 | 10,246 | ||
67,66 – 82,16 | 74,91 | 0,7130 | -0,2542 | 0,7756 | 0,0157 | 7,948 | ||
82,16 – 96,66 | 89,41 | 1,4470 | -1,0468 | 0,3510 | 0,0071 | 3,598 | ||
96,66 – 111,16 | 103,91 | 2,1809 | -2,3782 | 0,0927 | 0,0019 | 0,950 | ||
Итого | 33,832 |
Сравним на графике эмпирические f (ВО по таможенным постам) и теоретические m (нормальное распределение) частоты, полученные на основе данных табл. 14 (рис. 10). Близость этих частот очевидна[23], но объективная оценка их соответствия может быть получена только с помощью критериев согласия.
Рис. 10. Распределение ВО по таможенным постам (эмпирическое) и нормальное
Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда – существенными (неслучайными). Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.
Существует ряд критериев согласия, но чаще всего применяют критерии Пирсона χ2, Колмогорова и Романовского.
Критерий согласия Пирсона χ2 (хи-квадрат) – один из основных критериев согласия, рассчитываемый по формуле (44):
, (44)
где k – число интервалов;
fi – эмпирическая частота i-го интервала;
mi – теоретическая частота.
Для распределения χ2 составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия χ2 для выбранного уровня значимости α и данного числа степеней свободы ν (см. Приложение 3).
Уровень значимости α – это вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность (P) того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости:
1) α = 0,10, тогда P = 0,90;
2) α = 0,05, тогда P = 0,95 [24];
3) α = 0,01, тогда P = 0,99.
Число степеней свободы ν определяется по формуле:
ν = k – z – 1,(45)
где k – число интервалов;
z – число параметров, задающих теоретический закон распределения.
Для нормального распределения z = 2, так как нормальное распределение зависит от двух параметров – средней арифметической ( ) и среднего квадратического отклонения (σ).
Для оценки существенности расхождений расчетное значение χ2 сравнивают с табличным χ2табл. Расчетное значения критерия должно быть меньше табличного, т.е. χ2<χ2табл, в противном случае расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением не случайны, а теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.
Использование критерия χ2 рекомендуется для достаточно больших совокупностей (N>50), при этом частота каждой группы не должна быть менее 5, в противном случае повышается вероятность получения ошибочных выводов.
В нашем примере про ВО для расчета критерия χ2 построим вспомогательную таблицу 15.
Таблица 15. Вспомогательные расчеты критериев согласия
i | Xi | fi | mi | fi’ | mi’ | |fi’– mi’| | |
24,16 – 38,66 | 3,383 | 0,773 | 3,383 | 1,617 | |||
38,66 – 53,16 | 7,707 | 0,065 | 11,090 | 0,910 | |||
53,16 – 67,66 | 10,246 | 0,740 | 21,336 | 3,664 | |||
67,66 – 82,16 | 7,948 | 1,961 | 29,284 | 0,284 | |||
82,16 – 96,66 | 3,598 | 0,045 | 32,882 | 0,118 | |||
96,66 – 111,16 | 0,950 | 1,160 | 33,832 | 1,168 | |||
Итого | 33,832 | 4,744 |
Теперь по формуле (44): χ2 =4,744, что меньше табличного (Приложение 3) значения χ2табл=7,8147 при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы ν=6–2–1=3, значит с вероятностью 0,95 можно говорить, что в основе эмпирического распределения величины ВО по таможенным постам лежит закон нормального распределения, т.е. выдвинутая гипотеза не отвергается, а расхождения объясняются случайными факторами.
Критерий Романовского КР основан на использовании критерия Пирсона χ2, т.е. уже найденных значений χ2 и числа степеней свободы ν, рассчитывается по формуле (46):
. (46)
Он используется в том случае, когда отсутствует таблица значений χ2. Если КР < 3, то расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением случайны, если КР > 3, то не случайны, и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.
В нашем примере про ВО по формуле (46): = 0,712 < 3, что подтверждает несущественность расхождений между эмпирическими и теоретическими частотами.
Критерий Колмогорова λ основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами эмпирического и теоретического распределений (D), рассчитывается по формуле (47) [25]:
. (47)
Рассчитав значение λ, по таблице P(λ) (см. Приложение 6) определяют вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Вероятность P(λ) может изменяться от 0 до 1. При P(λ) = 1 (т.е. при λ < 0,3) происходит полное совпадение частот, при P(λ) = 0 – полное расхождение.
В нашем примере про ВО в последних трех столбцах таблицы 15 приведены расчеты накопленных частот и разностей между ними, откуда видно, что в 3-ей группе наблюдается максимальное расхождение (разность) D = 3,664. Тогда по формуле (47): . По таблице Приложения 6 находим значение вероятности при λ = 0,6: P = 0,86 (наиболее близкое значение к 0,619), т.е. с вероятностью, близкой к 0,86, можно говорить, что в основе эмпирического распределения величины ВО по таможенным постам лежит закон нормального распределения, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.
Итак, подтвердив правильность выдвинутой гипотезы с помощью известных критериев согласия, можно использовать результаты распределения для практической деятельности. Какое же практическое значение может иметь произведенная проверка гипотезы? Во-первых, соответствие нормальному закону позволяет прогнозировать, какое число таможенных постов (или их доля) попадет в тот или иной интервал значений величины ВО. Во-вторых, нормальное распределение возникает при действии на вариацию изучаемого показателя множества независимых факторов. Из чего следует, что нельзя существенно снизить вариацию величины ВО, воздействуя только на один-два управляемых фактора, скажем число работников таможенного поста или степень технической оснащенности.
Дата добавления: 2017-09-19; просмотров: 454;