Тема. Показатели и анализ вариации

(11)

2) линейный коэффициент вариации:

(12)

3) коэффициент вариации

(13)

4) относительное квартальное расстояние:

(14)

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной и средняя является типичной характеристикой для данной совокупности, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Пример.

Имеются следующие исходные данные по отдельным коммерческим банкам РФ за отчетный год:

Таблица 1

Данные о собственном капитале банков региона

На основании представленных данных рассчитать показатели вариации.

Абсолютные показатели:

1) размах вариации: (R)

R=X_max-X_min,

где X_max и X_min – максимальное и минимальное значения признака соответственно. Так как данные проранжированы в порядке возрастания, то имеем:

R = 870,2 – 335,2 = 535,0 (млн. руб.)

2) среднее линейное отклонение ( ):

_{= ,}

где x_i – индивидуальные значения признака;

средняя арифметическая величина.

Значение рассчитывается по следующей формуле: , где n – число банков.

Расчет показателей представим в таблице 6.2.:

Таблица 2

Исходные данные для расчета показателей вариации

N п/п	Xi	|хi – |	Xi2
	335,2	230,69	112359,04
	377,2	228,69	113703,84
	355,1	210,79	126096,01
	404,7	161,19	163782,09
	406,2	159,69	164998,44
	442,3	123,59	195629,29
	507,3	58,59	257353,29
	534,7	31,19	285904,09
	544,4	21,49	296371,36
	642,7	76,81	413063,29
	665,7	99,81	443156,49
	665,7	99,81	443156,49
	769,7	203,81	592438,09
	796,9	230,81	634730,89
	834,6	268,71	696557,16
	870,2	304,31	757248,04
Итого	8488,4	2410,17	5253391,41

3) Дисперсия (s²):

4) Среднее квадратическое отклонение (s):

Относительные показатели:

1) Коэффициент осцилляции (V_R):

V_R =

V_R =

2) Линейный коэффициент вариации :

3) Коэффициент вариации (V):

На основании проведенных расчетов можно сделать следующие основные выводы:

- в среднем индивидуальные значения признака отклоняются от средней арифметической на 160,68 млн. руб. по среднему линейному отклонению и на 173,19 млн. руб. по среднему квадратическому отклонению;

- данные по собственному капиталу банков являются достаточно однородными (коэффициент вариации не превышает 33%) и, следовательно, средняя арифметическая будет типичной, надежной оценкой по исследуемому признаку.

3. Дисперсия. Виды дисперсии

Вариация признака обусловлена различными факторами, некоторые из этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку, то есть построить аналитическую группировку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также и между этими группами.

Дисперсия результативного признака внутри группы при относительном постоянстве признака-фактора возникает за счет других факторов (не связанных с изучаемым). Такая дисперсия называется остаточной (та колеблемость, которая осталась при закреплении изучаемого фактора ).

Межгрупповая дисперсия относится на счет изучаемого фактора (и факторов, связанных с ним), поэтому называется факторной.

В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутри групповой.

Общая дисперсия s² измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака Х- от общей средней и может быть вычислена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия по формуле (6) или (7).

Межгрупповая дисперсия d² характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних , от общей средней . Межгрупповая дисперсия вычисляется по формуле:

(15)

где m_j - численность единиц в группе,

j – номер группы,

- среднее значение признака в j группе,

- общая средняя.

Внутригрупповая (частная) дисперсия , отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:

, , (16)

- среднее значение признака в j группе,

- i значение признака (варианта),

- частот i варианты,

п – объем совокупности.

На основании внутри групповой дисперсии по каждой группе, т.е. на основании можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий :

. (17)

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

. (18)

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью — неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак.

Поэтому в статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации (h²) — показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:

(19)

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х (остальная часть общей вариации у обуславливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи - единице.

Эмпирическое корреляционное отношение — это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

оно показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками.

Эмпирическое корреляционное отношение h, как и h², может принимать значения от 0 до 1.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна обшей дисперсии ( ), т.е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака.

Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чэддока:

Пример.

Имеются следующие данные о величине кредитов, выданных частным лицам, российскими и иностранными банками, функционирующими на территории РФ:

Таблица 3

На основании приведенных данных проверить правило сложения дисперсий и определить влияние факторного признака на вариацию величины кредитов, выданных частным лицам.

Решение.

Проанализируем вариацию кредитов частным лицам по всем банкам. Для этого рассчитаем общую дисперсию по следующей формуле:

,

где значение признака по каждой единице;

общая средняя, рассчитанная по всем единицам.

Общая дисперсия характеризует вариацию объема кредитов частным лицам под влиянием всех факторов. Однако из таблицы видно, что вариация объема кредитов частным лицам зависит прежде всего от факторного признака.

Построим групповую таблицу, полученную по результатам аналитической группировки:

Таблица 4

Банки	Число банков, nj	Средний объем кредитов частным лицам,	Дисперсия объема кредитов частным лицам в группе, s2j
Российские		1647,6	173186,45
Иностранные		254,7	10105,44
Итого

По каждой группе рассчитывается внутригрупповая дисперсия, характеризующая вариацию объема кредитов частным лицам под влиянием всех прочих случайных факторов (кроме фактора, положенного в основу группировки), по следующей формуле:

,

где j =1¸k (номер группы)

i = 1¸n (номер единицы)

Таким образом, имеем:

В целом для всех единиц рассчитывается средняя из внутригрупповых дисперсий:

Для оценки вариации объема кредитов частным лицам под влиянием факторного признака рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Общую среднюю ( ) определим по следующей формуле:

(млн. руб.)

Тогда

Общая дисперсия представляет собой сумму межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:

, что соответствует общей дисперсии, рассчитанной выше.

Для оценки влияния факторного признака на вариацию объема кредитов частным лицам рассчитаем долю межгрупповой дисперсии в общей, которая называется коэффициентом детерминации (h²):

(78,4%)

Следовательно, на 78,4 % вариация объема кредитов частным лицам зависит от факторного признака и на 21,6 % (100-78,4) – от влияния всех прочих факторов.

Таким образом, в сочетании с методом группировок правило сложения дисперсий позволяет выявить факторы, оказывающие наибольшее влияние на вариацию признака в совокупности и дать количественную оценку степени влияния этих факторов.

5. Показатели формы распределения

Для дальнейшего изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины. Эти показатели получили название центральных моментов распределения порядка, соответствующего степени, в которую возводятся отклонения, или начальных моментов.

Согласно свойству средней арифметической центральный момент первого порядка равен нулю, второй центральный момент представляет собой дисперсию. Величина третьего момента зависит, как и его знак, от преобладания положительных отклонений в кубе над отрицательными либо наоборот.

При нормальном и любом другом строго симметричном распределении сумма положительных отклонений в кубе строго равна сумме отрицательных отклонений в кубе. Центральный момент третьего порядка используется при оценке асимметрии. Четвертый момент используется для оценки эксцесса.

Центральные моменты

Порядок момента	Формула
по не сгруппированным данным	по сгруппированным данным
Первый
Второй
Третий
Четвертый

Показатели формы распределения:

Асимметрия(As) показатель характеризующий степень асимметричности распределения.

Английский статистик К. Пирсон на основе разности между средней величиной и модой предложил расчет показателя асимметрии.

Следовательно, при (левосторонней) отрицательной асимметрии . При (правосторонней) положительной асимметрии .

Графически правосторонняя и левосторонняя асимметрия представлена на рисисунке 6.1.

Рис. 1. Графики асимметричности распределения.

Для расчета асимметрии можно использовать центральные моменты. Тогда:

,

где μ₃ – центральный момент третьего порядка.

Показатель Пирсона зависит от степени асимметрии в средней части ряда распределения, а показатель асимметрии, основанный на моменте третьего порядка, от крайних значений признака.

- эксцесс (Е_к) характеризует крутизну графика функции в сравнении с с нормальным распределением при той же силе вариации:

,

где μ₄ – центральный момент 4-ого порядка, определяемый по формуле:

Для построения кривой нормального распределения используются два параметра: средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонение.

По показателям асимметрии и эксцесса распределения можно судить о близости распределения к нормальному. Распределение можно считать нормальным, если показатели асимметрии и эксцесса не превышают своих двукратных средних квадратических отклонений, рассчитанных по формулам:

Если отношение , ,то асимметрия является незначительной, распределение можно считать нормальным.