Описание линейной дискретной системы во временной области

3.1.2.1. Импульсная и переходная характеристики ЛДС

Во временной области линейная дискретная система (ЛДС) описывается импульсной характеристикой.

Импульсной характеристикой ЛДС называется ее реакция на единичный дискретный импульс при нулевых начальных условиях: рисунок 2.

Рисунок 2.1 – определение импульсной характеристики ЛДС

Единичный дискретный импульс описывается соотношением:

(2.1)

Импульсная характеристика является основной характеристикой линейной дискретной системы, так как с ее помощью легко определяется реакция на произвольное входное воздействие.

При описании ЛДС во временной области кроме импульсной характеристики используют переходную характеристику.

Переходной характеристикой ЛДС называют ее реакцию на единичный дискретный скачок при нулевых начальных условиях: рисунок 3.

Рисунок 2.2 – определение переходной характеристики ЛДС

Единичный дискретный скачок описывается соотношением:

(2.2)

3.1.2.2. Связь выходного сигнала ЛДС с входным во временной области

Во временной области соотношение вход-выход ЛДС описывается линейными уравнениями:

- формулой свертки при использовании импульсной характеристики;

- разностным уравнением, если используются параметры ЛДС.

Формула линейной свертки

Для получения уравнения свертки представим любой дискретный сигнал в виде линейной комбинации единичных дискретных импульсов :

.

Воспользовавшись свойствами аддитивности и определением импульсной характеристики линейной дискретной системы, можно получить уравнение свертки:

. (2.3)

В результате замены переменных можно получить второй вариант записи формулы свертки:

. (2.4)

Стандартное условное обозначение операции свертки имеет следующий вид:

.

Разностное уравнение

В общем случае ЛДС суммирует с некоторыми весовыми коэффициентами не только некоторое количество входных отсчетов, но и некоторое количество предшествующих выходных отсчетов:

, (2.5)

где - коэффициенты разностного уравнения.

Данная форма разностного уравнения иногда называется алгоритмом дискретной фильтрации. Если в левой части уравнения разместить только выходные отсчеты, а в правой части только входные, то получают форму записи, которую называют классическим разностным уравнением:

. (2.6)

Разностное уравнение является аналогом дифференциального уравнения аналоговой линейной системы для линейных дискретных систем.

. (2.7)

Переход дифференциального уравнения к дискретному аналогу в виде разностных уравнений может быть произведен путем замены производных конечными разностями:

; (2.8)

. (2.9)

Вычисление выходного сигнала аналоговой системы может быть получено только приближенно путем замены операции интегрирования в интеграле Дюамеля одним из методов численного интегрирования. В то же время разностное уравнение или алгоритм дискретной фильтрации представляют собой алгоритм непосредственного вычисления выходного сигнала методом прямой подстановки при известном входном воздействии и предшествующих значениях выходного сигнала (реакции).

3.1.3. Описание линейной дискретной системы в Z – области

Математический аппарат z – преобразования, подобно преобразованию Лапласа в теории линейных аналоговых цепей, существенно упрощает анализ ЛДС.

Передаточная функция ЛДС

Применим z – преобразование к уравнению дискретной линейной свертки . В соответствии со свойствами z – преобразования получим:

, (3.1)

где - z – преобразования реакции и воздействия;

- z – преобразование импульсной характеристики.

Функция, представляющая собой z – преобразование импульсной характеристики

(3.2)

называется передаточной функцией (системной функцией) ЛДС.

Передаточная функция также может быть представлена и следующим образом:

. (3.3)

При известном изображении импульсная характеристика находится с помощью обратного z – преобразования:

. (3.4)

Таким образом, передаточная ЛДС – это отношение z – преобразования реакции к z – преобразованию воздействия.

Связь передаточной функции с разностным уравнением

Применим z – преобразование к разностному уравнению

.

В этом случае, учитывая свойство z – преобразования по запаздыванию воздействия, можно получить передаточную функцию ЛДС общего вида:

. (3.5)

Таким образом, передаточная функция ЛДС представляет собой дробно-рациональную функцию, числитель и знаменатель которой дееются многочленами аргумента порядков и с вещественными коэффициентами.

Как любая дробно-рациональная функция, передаточная функция ЛДС характеризуется полюсами и нулями.

Нулями называют значения , при которых передаточная функция равна нулю.

Полюсами называют значения , при которых знаменатель передаточной функции равен нулю.

Разновидности передаточных функций

Кроме передаточной функции общего вида, существуют другие формы записи передаточной функции.

Одна из эквивалентных форм записи передаточной функции выглядит следующим образом

, (3.6)

где - нули, - полюса.

Нули и полюса передаточной функции могут быть либо вещественными, либо составлять комплексно-сопряженные пары. Коэффициент усиления всегда вещественный.

Возможен третий вариант представления передаточной функции в виде суммы простых дробей ( :

, (3.7)

где - полюс;

- коэффициент разложения при k-м полюсе.

Оценка устойчивости ЛДС по ее передаточной функции

Представление функции передачи в виде суммы простых дробей позволяет найти импульсную характеристику системы через обратное z – преобразование, так как каждому слагаемому выражения (3.7) соответствует обратное преобразование вида :

. (3.8)

Таким образом, ряд будет сходиться и ЛДС будет устойчива, если выполняется условие:

(3.9)

Таким образом, для того, чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюса ее передаточной функции распределялись внутри единичного круга комплексной z-плоскости.