Если . то – полный импульс замкнутой системы остается неизменным при любых движениям системы и взаимодействиях внутри нее.

Импульс силы:

(4.17)

Порядок решения задачи динамики:

1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).

2. Провести анализ физической модели (построить математическую модель явления):

1) выбрать систему отсчета;

2) найти все силы, действующие на тело, и изобразить их на чертеже. Определить (или предположить) направление ускорения и изобразить его на чертеже;

3) записать уравнение второго закона Ньютона в векторной форме и перейти к скалярной записи, заменив все векторы их проекциями на оси координат;

4) исходя из физической природы сил, дополнительно выразить силы через величины, от которых они зависят;

5) если в задаче требуется определить положение или скорость точки, то к полученным уравнениям динамики добавить кинематические уравнения.

3. Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.

4. Проверить решение и критически оценить с точки зрения физического смысла.

Пример 1:

4.1. Движение точки массой m = 1 кг задано уравнениями:

х = 6t³ – t² + 5 (м), у = 4t² + t – 7 (м).

Определить силу, действующую на точку и модуль скорости точки в момент t = 1 с.

Решение. Для составления уравнений движения точки в проекциях на оси координат нужно продифференцировать два раза исходные уравнения:

Уравнения движения тела в проекциях на оси координат:

В момент времени t = 1 с:

а_х = 36 – 2 = 34, а_у =8.

Тогда, при m = 1 кг:

F_x = 34 H, F_у = 8 H.

Модуль силы, действующий на точку в момент t = 1 с, равен:

, F = 35 H.

Направляющие косинусы силы:

При t = 1 с проекции скорости на оси равны:

Модуль скорости равен:

Ответ. V = 18,35 м/с.

ПРИМЕР 2.

На доске массой М лежит брусок массой m. Коэффициент трения между доской и бруском равен μ. Доска может двигаться по гладкой горизонтальной поверхности. К бруску прикладывается горизонтальная сила , модуль которой зависит от времени по закону , где α=const. Определить скорости бруска и доски спустя время t после начала действия силы.

t₀

Решение разбивается на два этапа. 0 ≤ t ≤ t₀ t > t₀

Выберем систему координат так, как показано на рис., и изобразим силы, действующие на тела системы.

Уравнения движения бруска и доски в проекциях на оси системы координат, одинаковые на первом и втором этапах движения, уравнение кинематической связи (при t ≤ t₀) и закон Амонтона – Кулона (при t > t₀). Введем обозначения: a и A – проекции ускорений бруска и доски на ось X.

Общую систему уравнений представим в виде:

(1)

Используем также заданный в условии задачи закон изменения модуля силы F со временем:

При :

(2)

Для силы трения скольжения можно записать: Тогда

(3)

В соответствии с законом Амонтона – Кулона максимальное значение силы трения покоя равно силе трения скольжения , значит, из (2) и (3) получим:

(4)

Выражение (4) позволяет найти момент времени t₀, в который брусок начинает скользить по доске:

(5)

Таким образом:

(6)

Используя полученные выражения для ускорений тел системы (6), можно теперь определить и законы изменения скоростей этих тел.

При t ≤ t₀ доска и брусок движутся как одно тело, значит, их скорости меняются одинаковым образом и к моменту времени t окажутся равными:

(7)

Тогда при t >t₀ скорость бруска можно определить как сумму (7) и интеграла от второго уравнения (6) для a:

(8)

а скорость доски как сумму (7) и интеграла от второго уравнения (6) для А:

(2.59)

ПРИМЕР 2

На столе лежит доска массой М=1 кг, а на доске – груз массой m=2 кг. Какую силу F нужно приложить к доске, чтобы она выскользнула из-под груза? Коэффициент трения между грузом и доской равен μ₁=0,25, а между доской и столом – μ₂=0,5.