Нестационарная теплопроводность

В том случае если температура тела в различных его частях неодинакова, как на рисунках (а) и (б), то процесс теплопередачи, с материальной точки зрения, может быть описан вторым законом Фурье.

х, у, z - абсцисса, ордината и аппликата любой точки тела в которой реализуется теплопроводность. Если принять, что теплота передаётся только в одном направлении, вдоль оси абсцисс:

В задачах по теплопроводности абсолютную температуру t заменяют характеристической Q, которая определяется по формуле:

Тф - температура формующего инструмента;

То - начальная температура расплава, впрыскиваемого в форму;

Тт,х - температура в определённой точки тела, осуществляющего теплообмен с окружающей средой;

Решение уравнения Фурье можно получить, представив характеристическую температуру в виде произведения двух функций: температуры и местоположения.

Если в уравнении нестационарной передачи абсолютную температуру заменить, на характеристику, то уравнение (2) примет вид:

Подставляя уравнение (3) в (4), получим уравнение (5), которое продифференцируем.

Перенося производные и функции в разные части, получаем. Приравнивая отношения функций и их производных постоянному числу "-к", из уравнения (6) получаем.

Решение дифференциальных уравнений (7) и (8) имеет вид.

Характеристическая температура может быть выше, подставим уравнение (9) и (10) в уравнение (3).

Подчиним полученное уравнение уравнению Фурье условию:

Определим характеристическую температуру в центре изделия.

Следовательно, характеристическая температура:

Для определения характеристической температуры на краях изделия, подчиняю данное уравнение условию:

Определим, что теплообмен определяется не только теплопроводностью, но и коэффициентом теплоотдачи.

Сокращая и проводя перегруппировку членов получаем:

Общее решение дифференциального уравнения Фурье представляет собой совокупность функций типа (14). По этому можно записать:

Или:

Ограничиваясь первым членом ряда, что вполне достаточно для общего решения. Характеристическая температура в центре и на поверхности изделия, может быть выражена как функции критериев Био и Фурье.

Значения функции критерия Био для середины изделия N(Bi), и поверхности p(Bi), табулированы, то есть представлены в виде таблиц, которые приводятся в теплотехнических справочниках. Используя эти таблицы можно проводить теплофизические расчёты, связанные с нагреванием или охлаждением полимерных изделий. Прологарифмируем уравнения (24) и (25).

Эти зависимости лежат в основе нескольких графических методов определения параметров энергопередачи.

На графике 1 приводится линейная зависимость критерия Био. На графике 2 зависимость между характеристической температурой и критерием Фурье, в виде кривых.

1 – пластина;

2 – брусок;

3 – цилиндр;

4 – куб.

Характеристические температуры определяются по формулам:

Кроме графического способа решения уравнений нестационарной теплопроводности существуют многочисленные аналитические выражения, позволяющие рассчитать температуру изделия в его центре, на поверхности или в любой точки изделия. Характеристическая температура, общее выражение для температуры в центре полимерного тела:

Если решить это уравнение относительно времени, получаем:

В зависимости от формы тела, время охлаждения будет вычисляться по различным формулам.

Пластина

Цилиндр

Параллелепипед

На практике часто встречается случай двухстороннего отвода тепла.