ВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ

Одним из важнейших свойств денежных потоков является распределение их во времени. При анализе относительно краткосрочных периодов в условиях стабильной экономики данное свойство оказывает достаточно незначительное влияние, которым часто пренебрегают. Однако при рассмотрении долгосрочных периодов или в условиях сильной инфляции возникает серьезная проблема сопоставимости данных (очевидно, что 1 млн.р. в 2003г. был значительно весомее, чем сейчас). Для учета инфляции производят корректировку отчетных данных. Но проблема не сводится только к инфляции.

Одним из основных принципов финансовой математики является признание ВРЕМЕННОЙ стоимости денег, которая учитывает как минимум три фактора:

Во-первых, «сегодняшние» деньги всегда будут ценнее «завтрашних» из-за риска неполучения последних, этот риск тем выше, чем больше временной лаг, отделяющий получателя денег от этого «завтра».

Во-вторых, располагая денежными средствами сегодня, экономический субъект может вложить их в какое-либо доходное дело и получить прибыль, в то время как получатель будущих денег начисто лишен этой возможности.

В третьих, «сегодняшние» деньги всегда более ликвидны, чем «завтрашние», так как любые обязательства, получаемые взамен живых денег, имеют более низкую ликвидность.

Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя все эти дополнительные риски. Поэтому, предоставляя кредит, они устанавливают такие условия его возврата, которые компенсируют все неудобства.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время будет возвращена большая сумма FV.

Результативность этой операции можно охарактеризовать двояко: либо с помощью абсолютного показателя – прироста (FV – PV), либо путем расчета некого относительного показателя.

Недостаток абсолютного показателя состоит в несопоставимости оцениваемых показателей во временном аспекте. Поэтому используют относительный показатель, который называется ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращенной суммы к базовой величине. За базовый показатель можно взять как PV, так и FV.

r = FV – PV (1.1)

PV

d = FV – PV (1.2)

FV

В финансовых вычислениях первый показатель называется "процентная ставка" или "доходность", а второй – "учетная ставка" или "дисконт".

Процентная ставка используется при наращивании и дисконтировании относительно первоначальной суммы, а учетная относительно будущей суммы.

Процесс, в котором задана исходная сумма и ставка, называется наращиванием, искомая величина – наращенной суммой, а ставка – ставкой наращивания.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка, называется дисконтированием, искомая величина – приведенной суммой, а ставка – ставкой дисконтирования.

Настоящее		Будущее
Исходная сумма Ставка	наращение	Наращенная сумма
Приведенная сумма	дисконтирование	Ожидаемая к поступлению (возвращению) сумма Ставка

Рис.1 Логика финансовых операций.

Ставка r как бы уравновешивает величины FV и PV с учетом фактора времени. Инвестор соглашается вложить сумму PV на определенный промежуток времени, если данная операция обещает ему получение большей сумму FV .

Иными словами, суммы PV сегодня и FV завтра равноценны для инвестора. Если учесть, что операция наращивания и дисконтирования взаимообратные, то приведенные рассуждения позволяют сделать очень важный вывод: ставка может трактоваться как показатель доходность, т.е. эффективности оцениваемой операции. В зависимости от вида ИА эта ставка может либо задаваться в качестве исходного параметра, либо исчисляться как результативный показатель, на основе которого и будет приниматься решение об инвестировании.

На практике доходность является величиной непостоянной, зависящей главным образом от степени риска. здесь связь прямо пропорциональная, чем рискованней бизнес, тем больше требуемая доходность. наименее рискованные вложения в государственные ценные бумаги, но доходность по ним минимальна.

Известны две схемы дискретного начисления процентов:

· схема простых процентов

· схема сложных процентов

Простые проценты

Наращивание простыми процентами

- Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление, то есть начисление идет на первоначальную сумму:

FV = PV (1+ rn),

где n - количество лет, длительность операции в годах.

- Если продолжительность финансовой операции не равна году (меньше), то наращенная сумма находится по формуле:

FV = PV (1+ t r/T),

где r/T дневная ставка.

t - продолжительность операции в днях,

T - количество дней в году.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того чему принимается равной продолжительность года, квартала, месяца, получают два варианта процентов:

· Точные проценты, определяемые исходя из точного числа дней в году, квартале, месяце.

· Обыкновенные проценты, определяемые исходя из приближенного числа дней в году, квартале, месяце (соответственно 360,90,30).

- Плавающая ставка предполагает использование следующей формулы для расчета наращенной суммы.

FV = P (1+∑ r n)

Дисконтирование простыми процентами

При заключении финансовых соглашений часто приходится решать обратную задачу, по отношению к нахождению наращенной суммы. Например, сколько нужно вложить сегодня, чтобы через время t, при постоянной процентной ставке получить сумму FV

Например, какую сумму надо положить на счет сегодня, чтобы через 3 года получить 150 тыс.р., при ставке 25%.

PV = FV / 1+ nr

Сложные проценты

Наращивание сложными процентами

Вопрос сложных процентов является ключевым в инвестиционном анализе. Схема сложных процентов предусматривает их капитализацию. Это значит, что база, с которой происходит начисление, постепенно возрастает, т.е. начисление идет не только на первоначальную сумму, но и на полученные ранее проценты. В основе теории сложных процентов, лежит принцип разумного инвестора. Смысл, которого заключается в том, что деньги должны постоянно работать, т.е. на сумму начисленных процентов, должны вновь начисляться проценты, при этом частота начисления может быть разной (раз в год, раз в полгода и т.д.) (рис.2).

Ежегодное начисление Полугодовое начисление Непрерывное начисление

процентов процентов процентов

1 2 3 года

Рис.2 Схема начисления сложных процентов

Формула для расчета сложных процентов при наращивании имеет вид:

FV = PV (1+r)ⁿ

Для удобства пользования используют мультиплицирующий множитель, значения которого табулированы для различных значений n и r.

С учетом использования табулированного множителя формула наращивания сложными процентами принимает вид:

FV = PV* FM1(r,n),

где FM1(r,n)- мультиплицирующий множитель для единичного платежа, он равен (1+r)ⁿ

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет (1,5 года или 2,5 года). В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:

· По схеме сложных процентов:

FV = PV (1+ r) ^{w + f},

где w целое число лет,

f дробная часть года.

· По смешанной схеме:

FV = PV (1+ r) ^w (1+ fr)

При капитализации сложными процентами могут предусматриваться плавающие процентные ставки, т.е. ставка в течение срока финансового соглашения меняется. Например, для первых трех лет ставка установлена 28%, на следующий год устанавливается маржа в размере 1%, и на последующие годы маржа равна 1,5%. Такая плавающая ставка является, прежде всего, инструментом банковского маркетинга, т.к. банк заинтересован в долгосрочных кредитах. В таких случаях наращенная сумма находится по формуле:

FV = PV S(1+ r) ⁿ

На практике капитализация процентов часто происходит несколько раз в году: по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и даже ежедневно. При такой схеме наращенная сумма находится по формуле:

FV = PV (1+ r / m)^mn

где n число лет,

m количество начислений в год.

Чем чаще начисляются проценты, тем больше наращенная сумма. Поэтому для инвестора всегда выгоднее устанавливать ставку со значением m как можно больше.

Дисконтирование сложными процентами

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, исходят из того, является ли это вложение более прибыльным, чем вложения в государственные ценные бумаги. Используя несложные методы, пытаются проанализировать будущие доходы.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений с позиции текущего момента. Базовая расчетная формула для такого анализа следующая:

PV = FV / (1 + r)ⁿ илиPV = FV*FM2(r, n)

где FV – доход, планируемый к получению в n-м году

FM2(r, n) = 1/ (1 + r)ⁿ

Экономический смысл мультиплицирующего множителя заключается в том, что прогнозируемая величина FV с позиции текущего момента будет меньше из-за влияния фактора времени. Поэтому фактор (FM2) для нулевого года равен 1, для всех последующих он меньше 1, что свидетельствует о том, что сегодняшние деньги всегда дороже, чем завтрашние (инфляция, риск неполучение, меньшая ликвидность).

Используя эту формулу, можно приводить к сопоставимому виду оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет. Коэффициент дисконтирования численно равен процентной ставке устанавливаемой инвестором, т.е. тому размеру дохода, который инвестор хочет получить на инвестируемый им капитал.

Определяя коэффициент дисконтирования, исходят из так называемого безопасного или гарантированного уровня доходности финансовых инвестиций. За который принимается доход по вкладам в государственных банках.

Если начисление процентов осуществляется несколько раз в год, то приведенная стоимость находится по формуле:

PV = FV / (1+ r/m )^mn

Аннуитеты

Один из основных элементов инвестиционного анализа является оценка денежных потоков, генерируемых в течение ряда лет в результате реализации того или иного ИП.

Для простоты и точности инвестиционного анализа предполагаются следующие допущения: - *элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттока и притока денежных средств,

- *притоки не распределяются внутри периода, а сконцентрированы на одной его границы (денежные средства поступают либо в начале, либо в конце определенного периода, например месяца).

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, в котором длительность всех периодов равна между собой. Исторически вначале рассматривались ежегодные денежные поступления (период равен одному году), что и послужило основой его названия "аннуитет" (год по латыни анну). В дальнейшем в качестве периода стал выступать любой промежуток времени при сохранении прежнего названия. Аннуитет еще называют финансовой рентой или просто рентой. Тут опять исторические корни. Изначально аннуитет – ежемесячные арендные платежи.

С точки зрения ИА аннуитет – это денежный поток, который удовлетворяет следующим требованиям:

1. все члены денежного потока – положительные величины (только приток?);

2. временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны;

3. все элементы денежного потока равны друг другу или растут линейно.*

Любое денежное поступление называют членом аннуитета, а величина постоянного временного интервала между двумя поступлениями денежных средств называется периодом аннуитета.

Интервал времени от начала первого периода аннуитета до конца последнего называется сроком аннуитета.

Аннуитеты классифицируются:

1. дискретные(период ренты более одного дня) и непрерывные (ежедневный поток платежей)

2. постоянные (все члены ренты равны, при подписании четко указывается, что каждый платеж будет равен, например 1000 р.), переменные(но изменяются линейно?)*

3. верные и условные. Первые имеют заранее определенное число членов (например, платежи по кредиту). Вторые, характеризуются тем, что число выплат заранее неизвестно, например, выплата пенсии прекращается в связи со смертью пенсионера.

4. срочные (ограниченные) и бессрочные (бесконечные). Срочный – это денежный поток с равными поступлениями в течение определенного промежутка времени, например, лизинговый платеж сроком на 2 года или аренда производственной площади сроком на один год. Аннуитет называется бессрочным, если денежный поток продолжается достаточно длительное время, в западной практике 50 лет и более.

5. пренумерандо и постнумерандо. Если денежные средства поступают в начале периода, аннуитет называется пренумерандо или авансовый аннуитет, если платежи поступают в конце периода, то это поток постнумерандо.

C₁ C₂ C₃ ….. Сn

t₀ t₁ t₂ …. tn

Поток пренумерандо

С₁ С₂ ….. Сn

t₀ t₁ t₂ …. tn

Поток постнумерандо

Рис.3 Виды денежных потоков.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, именно он лежит в основе методики анализа инвестиционных проектов. Некоторое объяснение этому можно дать, исходя из общих правил учета, согласно которым подводить итоги, оценивать финансовый результат того или иного действия по окончанию очередного отчетного периода.

Ключевым моментом при оценки денежных потоков является молчаливая посылка о том, что анализ ведется с позиции "разумного инвестора", т.е. инвестора, не просто накапливающего полученные средства, а немедленно инвестирующего их с целью получения дополнительного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях (при наращивании и при дисконтировании) предполагается капитализация по схеме сложных процентов.

Оценка аннуитета предполагает решение двух задач:

1. прямой, т.е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращивания);

2. обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования)

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в ее основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки наращенного денежного потока лежит формула FV = PV(1+r)ⁿ ,применяемая к каждому элементу денежного потока.

НП.: Предприниматель имеет возможность делать периодические взносы в банк в течение длительного времени и пытается оценить, какая сумма будет накоплена им к концу этого периода.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную стоимость, непосредственное их суммирование невозможно. Дисконтирование денежного потока осуществляется с помощью формулы

PV = FV/ (1 + r)ⁿ ,применяемой к каждому элементу денежного потока.

НП.: Инвестор имеет возможность получить в будущем серию платежей (проценты, дивиденды), спрашивается какую сумму готов заплатить инвестор сегодня за возможность получения в будущем этой серии платежей.

Для оценки будущей и дисконтированной (приведенной) стоимости аннуитета можно пользоваться формулами (1 и 2), вместе с тем благодаря специфики аннуитета в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощенны.

Наращеннаястоимость срочного аннуитета постнумерандо:

FVpst = R*FM3 (r;n), FM3 (r;n)= [(1+r)ⁿ-1] / r

Наращеннаястоимостьсрочногоаннуитетапренумерандо:

FVpre = R*FM3 (r;n) * (1+r) или FVpre = FVpst * (1+r),

Экономический смысл FM3 (r.n), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу к концу срока его действия. Предполагается, что производиться лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончанию срока действия аннутитета.

Приведеннаястоимостьсрочногоаннуитетапостнумерандо,

PVpst = R + FM4 (r;n), FM4 = [1-(1+r) ^-n]/ r