Средняя гармоническая величина

При условии подстановки в общую формулу (6.1) значения к= –1 можно получить среднюю гармоническую величину, которая имеет простую и взвешенную формы.

Для ранжированного ряда используется средняя гармоническая простая величина, которую можно записать следующим образом.

(6.10)

где n – общая численность вариант; – обратное значение варианты.

Допустим, имеются данные о том, что при перевозке картофеля скорость движения автомобиля с грузом составляет 30 км/ч, без груза – 60 км/ч. Необходимо найти среднюю скорость движения автомобиля. На первый взгляд представляется совсем несложное решение задачи: применить способ средней арифметической простой величины, т.е.

Однако, если иметь в виду, что скорость движения равна пройденному пути, разделённому на затраченное время, то совершенно очевидно, что результат (45 км/ч) оказывается неточным, так как на прохождение одного и того же пути автомобилем с грузом и без груза (туда и обратно) затраты времени будут существенно различаться. Следовательно, более точная средняя скорость движения автомобиля с грузом и без груза может быть рассчитана по средней гармонической простой величине:

Таким образом, средняя скорость движения автомобиля с грузом и без груза составляет не 45, а 40 км/ч.

В дискретных или интервальных рядах используется средняя гармоническая взвешенная величина:

(6.11)

где W – произведение варианты на частоту (взвешенная варианта, xf).

Рассмотрим пример. Трудоемкость производства 1т картофеля в первом подразделении сельскохозяйственной организации составляет 10 чел.-ч., во втором – 30 чел.-ч. В обоих подразделениях на производство картофеля затрачено по 30 тыс. чел.-ч. Необходимо рассчитать среднюю арифметическую трудоёмкость картофеля в сельскохозяйственной организации. Кажется, что среднюю трудоёмкость легко найти как полусумму трудоёмкости картофеля в двух подразделениях, т. е. по способу средней арифметической простой величины:

Однако, при таком решении совершаются две ошибки. Первая, принципиальная ошибка заключается в том, что при расчёте средней трудоемкости по способу средней арифметической простой величины не учитывается сущность самой трудоемкости, которая находится как отношение прямых затрат труда к объему продукции. Вторая ошибка состоит в том, что при решении не учтен приведенный по условию задачи конкретный объем затрат труда на производство картофеля (по 30 тыс. чел.-ч. в обоих подразделениях). Это позволяет рассчитать частоту (веса) для трудоемкости картофеля и, таким образом, найти среднюю арифметическую взвешенную трудоемкость, что будет успешно заменено путем применения средней гармонической взвешенной величины:

Таким образом, средняя трудоёмкость картофеля в сельхозорганизации составляет не 20, как это было рассчитано выше, а 15 чел. ч/т.

Средняя гармоническая величина применяется главным образом в тех случаях, когда варианты ряда представлены обратными значениями, а частоты (веса) скрыты в общем объеме изучаемого признака.