Вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю.

Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств: имеют одинаковую вероятность, т.е.

В самом деле, например,

так как .

Замечание.

Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытаний конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания.

В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение .

Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.

Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.

Пример 20. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

График функции

представлен па рис. 3.7.

Рис. 8

Определить: 1) вероятность того, что случайная величина

примет значение, удовлетворяющее неравенствам

. 2) Найти функцию распределения заданной случайной величины.

Решение: Используя формулу (3.6), имеем:

По формуле (3.6) находим функцию распределения F(x) для заданной случайной величины. Если , то .

Если , то

Итак,

График функции F(x) изображен на рис. 3.8.

Следующие три пункта посвящены часто встречающимся на практике распределениям непрерывных случайных величин — равномерному, экспоненциальному и нормальному распределениям.

5. Равномерное распределение.

Пусть сегмент на оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина могущая принять любое значение из сегмента . Поэтому . Если, далее, и - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем , где k - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и , а разность , - длина сегмента . Так как при и имеем , то , откуда . Таким образом

(3.9)

Теперь легко найти функцию F(x) распределения вероятностей случайной величины . Если , то так как не принимает значений, меньших a. Пусть теперь . По аксиоме сложения вероятностей . Согласно формуле (3.9), в которой принимаем и , имеем . Так как , то при получаем . Наконец, если , то , так как значения лежат на сегменте и, следовательно, не превосходят b. Итак, приходим к следующей функции распределения:

.

График функции F(x) представлен на рис. 3.9.

Плотность распределения вероятностей найдем по формуле (3.8). Если или , то . Если , то

.

Таким образом,

(3.10)

График функции изображен на рис. 3.10. Заметим, что в точках aи b функция терпит разрыв.

Величина, плотность распределения которой задана формулой (3.10), называется равномерно распределенной случайной величиной.

Дата добавления: 2018-11-25; просмотров: 781;