Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

Понятие комплексного числа

Комплексное число имеет вид , где и – действительные числа,

– мнимая единица,

Число называется действительной частью ( )комплексного числа , число называется мнимой частью ( ) комплексного числа .

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось
– мнимая ось

Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид .

1.Сложение комплексных чисел. и

2. Вычитание комплексных чисел.

3. Умножение комплексных чисел. ·

Деление комплексных чисел.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме: , где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа. Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти.

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длинарадиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа z стандартно обозначают: или r

По теореме Пифагора модуль комплексного числа равен: .

Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Аргументом комплексного числа называетсяугол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: , где .