Раціональне розташування перерізу

Для економного використання матеріалу необхідно не тільки раціонально вибрати форму перерізу, а і раціонально його розташувати по відношенню до зовнішніх навантажень.

З формули робимо висновок, що переріз потрібно розташувати так, щоб осьовий момент опору відносно нейтральної лінії був максимальним (рис. 6.17).

Положення:

а) – W_z = W_max = bh²/6 = W_нл

б) W_z = W_min = b²h/6 = W_нл

З двох положень перерізу раціональним буде (а) тому що W_нл =W_max і

s_max = M_max/W_max буде суттєво меншим, ніж для положення (б). Якщо переріз складається з прокатних профілів,

необхідно з’ясувати розмір найбільшого моменту опору такого перерізу, щоб раціонально його розташувати.

Приклад 1. Перевірити міцність двотаврової балки - №27, якщо

s_т = 240 МПа,

nт = 1,5. Схема навантаження приведена на рис. 6.20.

Розв’язок.

Визначимо опорні реакції і будуємо епюри Q та М (рис. 6.20). Для розрахунку на міцність епюра Q(x) не потрібна, але вона потрібна для вірної побудови епюри М(х).

В нашому випадку епюра Q(x) має нульову ординату при х_э = 2,47 мвід опори А, у цій точці М_Е= М_max:

Це розрахунковий момент.

Найбільше нормальне напруження у небезпечному перерізі

МПа

де Wz = 407см³ – момент опору № 27а відносно нейтральної осі.

Дійсний коефіцієнт запасу n_т = 240/187,5=1,28, тобто нижче потрібного на 14,5 %, отже балка працює з великим перевантаженням (перевантаження допускається до 5 %).

Приклад 2. Для балки підібрати ряд перерізів, зображених на рис. 6.21 при [s] = 160МПа.

Розв’язок.

Епюра згиналь-них моментів показана на рис. 6.21. У небезпечному перерізі

M_max= Pl/4 =35 ^. 4/4=35 кНм

Необхідний із умови міцності момент опору поперечного перерізу при раціональному його розміщенні визначаємо з умови міцності:

smax = M_max/ W_z £ [s], звідки

Wz = M_max/[s] = 35 ^. 10³/160 ^. 10⁶=219 см³

Виражаючи потрібний момент опору через розміри (див. геометричні характеристики плоских перерізів), знаходимо розміри перерізів та їх площі, а витрату матеріалу можна визначити за співвідношенням площин.

Квадрат:

W_z = I_z/a/2 = a^{4 .} 2/12 ^. а =a³/6 =219 см³

; F=a²=121 см³

Прямокутник:

W_z = bh^3.2/12h = b(2b)³2/12(2b) = 2/3b³ = 219 см³, звідки

; h=2b=13,8см; F = bh = 95,2 см²

Коло:

Wz = d⁴2/64d = d³/32 » 0,1d = 219 см³, звідки

; F = d²/4 = 132,6см²

Двотавр: номер двотавра, що має момент опору близький до того, який потрібний, визначаємо за таблицею сортаменту: приймаємо №22, для якого Wz = 232 см³ та F=30,6 см².

Витрати матеріалу (за спаданням):

F_◌: F_□: F_Ÿ: F_I=132,6: 121: 95,2: 30,6, або 4,3: 3,95: 3,1: 1.

Ці цифри переконливо показують, що найбільш економічним є двотавровий профіль.

Лекція № Диференціальне рівняння зігнутої осі балки

.

При розрахунку стержнів,що працюють на згин розраховують їх на жорсткість. Під розрахунком на жорсткість ми розуміємо оцінку пружної піддатливості балки під дією прикладеного навантаження та добір таких розмірів поперечного перерізу,при яких переміщення не буде перевищувати встановлених нормами границь. Для виконання такого розрахунку треба вміти знаходити переміщення точок балки.

Кут повороту якщо поворот проти годинникової стрілки,а проти додатний,якщо переміщення по осі w вгору.

Так як - від’ємний та w-теж від’ємний.

tg =

Запишемо закон Гука при згині:

= ,т.я згин плоский,то в загальному вигляді

=

З математичного аналізу рівняння кривизни плоскої кривої:

=

=

-основне диференціальне рівняння пружної лінії

У загальному випадку

Відомо,якщо крива повернута випуклістю до сторони від’ємних ординат,то друга похідна додатна,і навпаки,при випуклості до сторони від’ємних ординат,то друга похідна додатна. Скривлена вісь балки зветься зігнутою віссю або пружною лінією. Рівняння пружної лінії:

Проінтегрувавши:

Проінтегрувавши другий раз знаходимо вираз для променя w(x)

			Граничні умови
		B
	A

Шарнірне

опір

Приклад

Лекція №