Операции над множествами.

Множества можно комбинировать для формирования новых множдеств и эти операции особенно полезны.

Объединение: S È T = {x: x Î S или x Î T}

Разность S – T = {x: x Î S, x Ï T} [различность]

Пересечение S Ç T = {x: x Î S, x Î T}

Эти операции легко визуализировать с помощью диаграмм Венна.

S È T	S – T	S Ç T

Если два множества находятся внутри третьего множества, то их объединение, разность и пересечение, также остаются внутри этого множества, т.е. если S Í U и T Í U, тогда

S È T Í U

S – T Í U

S Ç T Í U

Для любого множества S, пустое множество обнаруживает следующие свойства:

S È {} = S È {} = S

S – {} = S, {} - S = {}

S Ç {} = {} È S = {}

Объединение и пересечение коммутативны, т.е.

S È T = T È S

S Ç T = T È S

и ассоциативны, т.е.

R È (S È T) = (R È T) È S

R Ç (S Ç T) = (R ÇT) È S

Таким образом, нет необходимости в скобках для указания порядка при записи нескольких объединений и пересечений.

Разность не коммутативна и не ассоциативна.

Примеры. Пусть

S = {†this†, †is†, †a†, †set†}

T = {†this†, †is†, †another†, †set†}

тогда

S È T = T È S ={†this†, †is†, †a†, †set†, †another†}

S – T = {†a†}

T – S = {†another†}

S Ç T = {†this†, †is†, †set†}

(S – T) È (S Ç T) = {†this†, †is†, †a†, †set†}

(S – T) È (S È T) = {}

Следующая таблица обобщает характеристики операций над множествами.