Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Определение. Пусть R – заданное - мерное линейное пространство

Определение. Пусть R – заданное - мерное линейное пространство. Ненулевой вектор R называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что выполняется равенство:

(2)

Число называется собственным числом (значением) линейного оператора , соответствующим вектору .

Если линейный оператор в базисе имеет матрицу:

, то собственными числами линейного оператора служат действительные корни характеристического уравнения -ой степени, которое можно записать в виде:

, (3)

где - единичная матрица.

Собственным вектором , соответствующим собственному числу , является любой вектор , координаты которого удовлетворяют системе линейных однородных уравнений:

(4)

Пример 53. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора заданного матрицей .

Решение: составляем характеристическое уравнение используя формулу (3):

(*)

Вычислим полученный определитель (понижением порядка):

Видно, что - собственные числа линейного оператора.

Найдем собственные векторы.

1) Если , то для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений:

Решим данную систему методом Гаусса:

~

Пусть (свободная переменная), тогда ,

.

Получим - собственный вектор.

2) Если , тогда .

Решаем систему:

~ ~ ~ .

Пусть , тогда и .

Получим - собственный вектор.

3) Если , тогда

.

Решаем систему:

. Пусть , тогда и .

Получим - собственный вектор.