Сравнение бесконечно малых.

При решении задач полезно сравнить б. м. по скорости их стремления к нулю.

Пусть и - б. м. при

Составим их отношение и найдем предел.

Возможны 4 случая:

1) , , и - б. м. одного порядка малости.

2) , - более высокого порядка малости.

3) , - более высокого порядка малости.

4) , эквивалентны

Теорема о замене на эквивалентную величину в пределе.

Теорема. Пусть , при и . Тогда .

Таблица эквивалентностей

Известно, что при

.

Замечание. Сравнение б. б. аналогично сравнению б. м.

Рассмотрим некоторые примеры вычисления пределов функций..

Пример. Вычислить 1) .

Решение:

.

Пример. Вычислить 2) .

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при , равен . Кроме того, предел числителя равен . В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на ( , но ) :

.

3) .

4)

Вычисление пределов иррациональных функций.

Пример.

5)

.

6)

Вычисление пределов отношения бесконечно больших функций, т.е. при неопределенности вида

Пример.7)Вычислить предел функции .

Решение. Сократим числитель и знаменатель дроби на самую большую степень x, т.е. на x² (дробь при этом не изменится):

.