Основные характеристики функции.

1. Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняются условия: и ; нечетной, если выполняются условия: и .

График четной функции симметричен относительно оси , а нечетной — относительно начала координат.

Например, , , — четные функции; а , — нечетные функции; , — функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.

2. Пусть функция определена на множестве и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство , то функция называется возрастающей

на множестве ; то функ­ция называется неубывающей на мно­жестве ; , то функция на­зывается убывающей на множестве , , то функция называется невозрастающей на множестве .

Например, функция, заданная графи­ком (рис. 2), убывает на интерва­ле , не убывает на интервале , возрастает на интервале .

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в кото­рых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на и ; монотон­на на .

3. Функцию , определенную на множестве , называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство . Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми и (рис. 3).

4. Функция , определенная на множестве , называется перио­дической на этом множестве, если су­ществует такое число , что при каждом значение и . При этом число называется периодом функции. Если — период функции, то ее периода­ми будут также числа , где . Так, для пери­одами будут числа ; ; , ... . Основной период (наименьший поло­жительный) — это период . Во­обще обычно за основной период берут наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству .

Обратная функция.

Пусть задана функция с областью определения и множеством значений . Если каждому значению соответствует един­ственное значение , то определена функ­ция с областью определения и мно­жеством значений . Такая функ­ция называется обратной к функции и записывается в следующем виде: . Про функции и говорят, что они являются взаимно об­ратными. Чтобы найти функцию , об­ратную к функции , достаточно решить уравнение относительно (если это возможно).

Примеры.

1. Для функции обратной функцией является функция .

2. Для функции , , обратной функцией является ; заметим, что для функции , заданной на отрезке , обратной не существует, т. к. одному значению соответствует два значения (так, если , то , ) .

Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами и . Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возра­стает (убывает).

Сложная функция

Пусть функция определена на множестве , а функция на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от (или суперпозицией за­данных функций, или функцией от функции).

Переменную называют промежуточным аргументомсложной функции.

Например, функция есть суперпозиция двух функций и . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.