Матричная форма записи системы балансовых уравнений.

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объёмов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объёмов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

Тогда система уравнений (3) в матричной форме имеет вид:

(4)

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях.

В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления : из (4) следует, что

,

где E – единичная матрица той же размерности, что и матрица прямых затрат A.

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода времени Т (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (4) с известной матрицей A и заданным вектором . Из (4) следует, что

где обратная матрица. Она называется матрицей полных затрат.

Если решение уравнения (4) существует, то матрица A называется продуктивной.

Критерии продуктивности:

1. Матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и её элементы неотрицательны.

2. Матрица A с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому её столбцу или строке не превосходит единицы, причем хотя бы для одного столбца или строки эта сумма строго меньше единицы.

ЗАДАЧА 1.

Таблица (1) содержит данные баланса трех отраслей промышленности за отчетный период. Требуется:

1) Убедиться, что модель продуктивна, т.е. найти матрицу коэффициентов прямых затрат и убедиться в том, что она продуктивна;

2) Составить баланс производства и распределения продукции;

3) Найти конечный продукт (вектор конечного продукта ) каждой отрасли для новых значений валовых продуктов отраслей (нового вектора валового выпуска): значения нового вектора валового выпуска больше соответствующих значений старого вектора валового выпуска на 10 единиц; так, например, в задаче 1 старые значения вектора валового выпуска , а новые значения вектора валового выпуска ;

4) Найти валовой продукт (вектор валового выпуска ) каждой отрасли для новых значений конечных продуктов отраслей (нового вектора конечного продукта): значения нового вектора конечного продукта больше соответствующих значений старого вектора конечного продукта на 10 единиц; так, например, в задаче 1 старые значения вектора конечного продукта , а новые значения вектора конечного продукта .

Табл.1

Решение.

1. Найдем матрицу коэффициентов прямых затрат. Из (1)

и т.д.

Получим следующую матрицу прямых затрат:

Табл. 2

2. Проверка продуктивности матрицы прямых затрат. Для проверки используем второй критерий. Для этого вычисляем суммы элементов в строках и столбцах. Результаты приведены в таблице (2). Поскольку все суммы элементов и в столбцах и в строках меньше единицы, то матрица продуктивна. Исходя из этого можно утверждать, что для неё существует обратная матрица с положительными коэффициентами.

3. Составим баланс производства и распределения продукции.

Модель баланса производства и распределения продукции отрасли можно представить следующей системой уравнений:

4. Найдем матрицу полных затрат

Каждый элемент матрицы B рассчитывается по формуле ; ,

где A_ij- алгебраические дополнения элементов матрицы (E-A); D- определитель матрицы (E-A).

Определитель матрицы (E-A):

Расчет алгебраических дополнений матрицы (E-A) дает следующие результаты:

Составим матрицу B:

Замечание. Поскольку матрица A продуктивна, то все коэффициенты матрицы полных затрат должны быть положительны. Отрицательные значения будут свидетельствовать об ошибке в расчетах.

5. Вычисление нового конечного продукта (вектора конечного продукта) при измененном валовом выпуске: .

- конечный продукт машиностроения,

- конечный продукт ракетостроения,

- конечный продукт нефтехимии.

6. Вычисление нового валового продукта (вектора валового выпуска) при измененном конечном потреблении: .

- валовая продукция машиностроения,

- валовая продукция ракетостроения,

- валовая продукция нефтехимии.

* * *