Метод Гаусса решения неоднородных квадратных систем линейных уравнений

Способ подстановки

Разберем этот способ на примерах, выбирая для начала самые простые системы из двух линейных уравнений для двух неизвестных – системы .

Пример 1. Решить систему

Из первого уравнения выразим через , получим . Подставив данное выражение вместо во второе уравнение, получим . Решением этого линейного уравнения является . Используем найденное значение для определения : . Итак, решением системы будет пара чисел: .

Пример 2. Решить систему

Из второго уравнения выразим через : . Найденное выражение для подставим в первое уравнение:

.

Домножим обе части последнего уравнения на 3: , откуда найдем , а . Сделав проверку (подставив в оба уравнения системы), убеждаемся, что решением будут .

Второй пример показывает, что решение методом подстановки при своей идейной простоте, требует довольно большого количества вычислений и для систем выше второго порядка практически не применяется.

Способ сложения

Основная идея способа - преобразовать систему так, чтобы в одном из уравнений осталась одна неизвестная величина. Этого можно достичь подстановкой, а можно почленным сложением уравнений системы. Рассмотрим данный способ также на примерах.

Пример 1. Решить систему:

Сложим почленно два уравнения системы, получим . Для определения подставим найденное значение в любое из уравнений системы, например, в первое: , откуда .

Ответ: .

Пример 2. Решить систему:

Преобразуем систему, домножив обе части первого уравнения на 2:

Теперь почленно сложим оба уравнения, получим , откуда . Подставив это значение в первое уравнение, найдем .

Ответ: .

Метод Гаусса решения неоднородных квадратных систем линейных уравнений

Из приведенных примеров ясно, что в складываемых уравнениях коэффициенты при одной из неизвестных должны быть противоположны. Чтобы это всегда выполнялось, особенно в системах большого порядка, исключение неизвестных в способе сложения можно формализовать следующим образом.

Запишем систему так, чтобы в первом уравнении при первом неизвестном коэффициент был равен 1. Если в системе есть подходящее уравнение, его можно переставить на первое место, если такого уравнения нет, то обе части первого уравнения можно разделить на коэффициент при первом неизвестном (полагая, конечно, что он отличен от 0). Умножая последовательно первое уравнение на числа, противоположные коэффициентам при первом неизвестном в остальных уравнениях, прибавляем его ко второму, третьему и т.д. уравнениям системы.

После этого во всех уравнениях системы, кроме первого, первое неизвестное будет исключено, т.е. эти уравнения будут содержать на одно неизвестное меньше, да и самих уравнений будет на одно меньше (первое не рассматриваем). Значит, эти уравнения образуют систему уравнений на порядок меньше, чем исходная. С этой системой можно провести такие же преобразования, как на первом этапе и т.д. до тех пор, пока в одном уравнении не останется одно неизвестное. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

Поменяем местами первое и второе уравнения системы:

Выполним такие преобразования: ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на (-3), к третьему – первое, умноженное на (-2). После выполнения указанных действий система примет вид:

Умножив второе уравнение на (-1), прибавим его к третьему, тогда:

Из последнего уравнения находим , из второго ; из первого . Подстановкой найденных значений во все уравнения исходной системы убеждаемся, что они являются ее решением.

Пример 2. Решить систему линейных уравнений

Умножая первое уравнение на (-3) и прибавляя ко второму, затем на (-2) и прибавляя к третьему, затем на (-3) и прибавляя к четвертому, преобразуем систему.

Предварительно разделив обе части второго уравнения на (-4), прибавим его к четвертому уравнению, умножив на (-1), прибавим к третьему, тогда:

Разделим обе части третьего уравнения на 12, а четвертого - на 3, затем третье уравнение, умноженное на (-3), прибавим к четвертому, получим:

Из последнего уравнения находим из третьего ; из второго ; из первого . Подставляем найденные значения во все уравнения системы и убеждаемся, что решение верно.

Решение систем линейных уравнений по методу Гаусса особенно удобно, когда коэффициенты при неизвестных целые числа, в тех случаях, когда коэффициенты произвольны или даны в общем виде, решение системы (особенно вручную) по методу Гаусса может представлять непростую задачу. Попробуем найти еще один способ решения систем линейных уравнений.