Если кривая задана уравнением , то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ( ).

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Производной функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:

(1)

Обозначения производной в точке х₀:

и другие.

Если функция в точке х₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением , то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ( ).

Уравнение касательной к кривой
в точке х₀ (прямая М₀Т) имеет вид:

(2)

а уравнение нормали (М₀N):

(3)

Механический смысл производной. Если точка движется по закону S=s(t), где S — путь, t — время, то S ¢(t) представляет скорость движения точки в момент времени t, т. е. S ¢(t) =V(t).

Правила дифференцирования

№ пп	U = u(x), V=V(x) — дифференцируемые функции	№ пп	U = u(x), V=V(x) — дифференцируемые функции
I		VI	Производная сложной функции
II		VII	Функция задана параметричес-кими уравнениями
III
IV		VIII	Если и — взаимно обратные функции, то
V

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп	с=const, х — независимая переменная, u = u(x) — дифференцируемая функция
	с¢= 0
	х¢= 1

Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка или

Производная третьего порядка или и т. д.

Задание 1. Найти производные функций:

а) б) в) г)

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t¢=1, получим:

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v¢=1; используя формулу (3), получим:

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t¢=1, получим:

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х₀=2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

Подставим в уравнения и получим:

или — уравнение касательной.

или — уравнение нормали.

Задание 3. Найти производную , если функция задана парамет-рически:

Используем правило VII

Задание 4. Найти дифференциалы функций:

а) б) в)

Для дифференциала функции справедлива формула т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.