в декартовій прямокутній системі координат.

Схема повного дослідження функції.

На підставі матеріалу, викладеного в розділах 11 і 12, можна запропонувати наступну схему дослідження функції.

Знаходимо:

1) область існування функції;

2) функція є парною чи непарною;

3) точки розриву функції;

4) інтервали монотонності функції;

5) екстремуми функції;

6) інтервали опуклості та вгнутості графіка, точки пергину;

7) асимптоти графіка функції: а) вертикальні; б) похилі.

13.2. Дослідження і побудова графіка функції, заданої

в декартовій прямокутній системі координат.

Приклад 13.1. Провести повне дослідження функції

та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) Область визначення функції:

.

2) Парність і непарність функції. Так як

,

то, і , тобто функція є ні парною, ні непарною.

3) Точки розриву функції. З області існування функції робимо висновок, що функція неперервна в усіх точках, крім точки . В точці функція має розрив 2-го роду, тому що

.

4) Інтервали монотонності функції:

а) знаходимо похідну

;

б) критичні точки функції:

точки, де :

;

точки, де друга похідна не існує:

;

в) інтервали монотонності функції:

5) Функція зростає на інтервалах і , а спадає – .

Екстремуми функції. З рис. 13.1 видно, що функція має один екстремум: в точці функція набуває максимуму

.

В точці функція не існує.

6) Інтервали опуклості і вгнутості, точки перегину:

а) знаходимо другу похідну

.

б) критичні точки першої похідної:

точки, де :

;

.

в) інтервали опуклості і вгнутості та точки перегину (рис. 13.2):

Функція опукла на інтервалах і вгнута – . Точка з координатами і є точкою перегину.

7) Асимптоти:

а) вертикальні асимптоти: з п.3) видно, що пряма є вертикальною асимптотою;

б) похилі асимптоти: вони мають вигляд . Знайдемо і :

;

.

Таким чином, пряма є похилою асимптотою.

8) Будуємо графік. Для побудови графіка складаємо допоміжну таблицю

х	-¥	(-¥,-3)	-3	(-3;-1)	-1-0	-1+0	(-1;0)	0	(0;+¥)	+¥
f(x)					–¥	–¥		0

де в першому рядку показані всі інтервали, на які критичні точки функції і першої похідної ділять числову вісь, а також граничні значення , і , . В другому рядку показуємо поведінку функції на цих інтервалах, граничні значення функції при та , значення в критичних точках.

Спочатку відкладаємо асимптоти (рис. 13.3), а потім – участки графіка окремо на кожному інтервалі , . Покажемо це на прикладі інтервалу . З таблиці визначаємо, як поводить себе функція на кінцях інтервалу: ліворуч, тобто, при крива нескінченно наближається до похилої асимптоти – положення А, а праворуч – – положення В. Точки А і В з’єднуємо зростаючою опуклою кривою.

Аналогічно проводиться побудова на інших інтервалах.

13.3. Дослідження і побудова графіка функції заданої

Параметрично.

Приклад 13.2. Дослідити функцію

і побудувати її графік

Розв’язання. 1) Область визначення. Функції х і у існують за всіх значень

2) Знайдемо поведінку функцій х і у при :

,

,

,

.

3) Функції і неперервні за всіх значень .

4) Інтервали монотонності:

а) знаходимо першу похідну

;

б) критичні точки функції похідної:

;

не існує при ;

в) інтервали монотонності (рис. 13.4)

Таким чином, функція , яка задана параметрично, зростає на інтервалі і спадає на інтервалах та ;

г) знайдемо координати точок, які відповідають критичним значенням параметра t:

5) Інтервали опуклості і вгнутості:

а) знаходимо другу похідну:

.

б) критичні точки першої похідної:

;

на існує при .

в) інтервали опуклості і вгнутості (рис. 13.5):

Таким чином, функція опукла на інтервалах та і вгнута – та ;

г) знаходимо координати точок, які відповідають критичним значенням параметра t для першої похідної:

при маємо

;

при маємо

.

Для побудови графіка складаємо допоміжну таблицю.

Тепер будуємо графік на кожному з інтервалів , , , , окремо.

T	-¥	(-¥,-	-	(- ;-1)	-1	(-1;1)	1	(1; )		( ,¥)	¥
х(t)	0		-0,3		-e-1		e		5,8		¥
y(t)	-¥		-5,8		-e		e-1		0,3		0
y(x)

Наприклад, на інтервалі крива спадає, опукла і з’єднує (якщо йти в напрямку зростання змінної х) точку з координатами і граничне положення . Аналогічно – для інших інтервалів (рис. 13.6).

Запитання для самоконтролю.

1. Наведіть схему повного дослідження функції.

2. Яка різниця між схемами дослідження функцій заданих в явному вигляді і – параметрично?

Прикладидо розділу 13.

Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:

г) ; д) ; е) ;

є) ; ж) ; з) .